SM4分组密码算法的线性变换L详解

我将为您详细讲解SM4算法线性变换L的设计原理和运算过程。SM4是中国国家密码管理局发布的分组密码算法标准，其线性变换L是轮函数中的关键组成部分。

题目描述

SM4的线性变换L是一个32位到32位的线性变换，在轮函数中负责对非线性变换τ的输出进行扩散。理解L变换需要掌握其数学定义、运算步骤和在整体算法中的作用。

解题过程

1. 线性变换L的位置和作用

在SM4的轮函数中，线性变换L位于非线性变换τ之后：

• 输入：非线性变换τ输出的32位数据
• 输出：32位数据，与轮密钥异或后参与下一轮运算
• 主要作用：实现数据的扩散，增强算法的雪崩效应

2. 数学定义

线性变换L的定义为：

L(B) = B ⊕ (B <<< 2) ⊕ (B <<< 10) ⊕ (B <<< 18) ⊕ (B <<< 24)

其中：

• B：32位输入数据
• ⊕：按位异或运算
• <<<：循环左移操作

3. 详细计算步骤

步骤1：准备输入数据
假设非线性变换τ的输出为B，将其视为32位无符号整数：

B = b31 b30 ... b1 b0（每个bi表示1位）

步骤2：计算各个循环移位结果

• B <<< 2：将B循环左移2位

  原序列：b31 b30 ... b1 b0
  移位后：b29 b28 ... b31 b30
  

• B <<< 10：将B循环左移10位

  原序列：b31 b30 ... b1 b0
  移位后：b21 b20 ... b31 b30 ... b23 b22
  

• B <<< 18：将B循环左移18位

  原序列：b31 b30 ... b1 b0
  移位后：b13 b12 ... b31 b30 ... b15 b14
  

• B <<< 24：将B循环左移24位

  原序列：b31 b30 ... b1 b0
  移位后：b7 b6 ... b31 b30 ... b9 b8
  

步骤3：执行异或运算
将原始B与四个移位结果逐位异或：

L(B) = B ⊕ (B <<< 2) ⊕ (B <<< 10) ⊕ (B <<< 18) ⊕ (B <<< 24)

4. 具体数值示例

假设B = 0x12345678（32位十六进制数）

计算过程：

• B = 0x12345678
• B <<< 2 = 0x48D159E2
• B <<< 10 = 0x5159E234
• B <<< 18 = 0x59E23451
• B <<< 24 = 0x78563412

然后进行异或运算：

0x12345678 ⊕ 0x48D159E2 = 0x5AE74F9A
0x5AE74F9A ⊕ 0x5159E234 = 0x0BBEADAE
0x0BBEADAE ⊕ 0x59E23451 = 0x525C99FF
0x525C99FF ⊕ 0x78563412 = 0x2A0AADED

最终结果：L(B) = 0x2A0AADED

5. 设计原理分析

移位常数的选择
移位常数2、10、18、24的选择基于：

• 质数或与32互质的数，确保良好的扩散性
• 覆盖不同的移位距离，实现多位置的影响
• 经过密码学分析，具有最优的扩散效果

线性性质

• 满足线性关系：L(x ⊕ y) = L(x) ⊕ L(y)
• 不满足乘法线性性
• 这种设计确保了良好的密码学特性

6. 在完整轮函数中的集成

线性变换L与轮函数其他部分的集成：

X_{i+1} = X_{i-1} ⊕ L(τ(X_i ⊕ X_{i+1} ⊕ X_{i+2} ⊕ RK_i))