非线性规划中的序列线性化信赖域反射-自适应屏障混合算法基础题

我将为你讲解序列线性化信赖域反射-自适应屏障混合算法。这是一个结合了序列线性化、信赖域反射和自适应屏障函数的混合优化方法。

题目描述

考虑非线性规划问题：

min f(x) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 3)²
s.t. g₁(x) = x₁² + x₂² - 4 ≤ 0
     g₂(x) = -x₁ ≤ 0
     g₂(x) = -x₂ ≤ 0

其中初始点x⁰ = [1, 1]ᵀ，信赖域半径Δ₀ = 0.5，屏障参数μ₀ = 1.0。

算法原理

这个混合算法结合了三种技术的优点：

• 序列线性化：在每步迭代中构造线性近似
• 信赖域反射：控制步长并保证收敛性
• 自适应屏障：处理不等式约束

解题步骤

步骤1：问题重构与屏障函数构造

首先引入屏障函数将约束问题转化为序列无约束问题：

P(x; μ) = f(x) - μ∑ln(-gᵢ(x))

在当前问题中：

P(x; μ) = (x₁ - 2)² + (x₂ - 3)² - μ[ln(4 - x₁² - x₂²) + ln(x₁) + ln(x₂)]

步骤2：计算初始点信息

在x⁰ = [1, 1]ᵀ处：

• 目标函数值：f(x⁰) = (1-2)² + (1-3)² = 1 + 4 = 5

• 约束函数值：g₁(x⁰) = 1 + 1 - 4 = -2 ≤ 0 ✓

• 梯度计算：
  ∇f(x) = [2(x₁ - 2), 2(x₂ - 3)]ᵀ
  ∇f(x⁰) = [-2, -4]ᵀ

• 约束梯度：
  ∇g₁(x) = [2x₁, 2x₂]ᵀ = [2, 2]ᵀ
  ∇g₂(x) = [-1, 0]ᵀ
  ∇g₃(x) = [0, -1]ᵀ

步骤3：构建线性化子问题

在当前点xᵏ处，构建线性近似：

min ∇f(xᵏ)ᵀd + ½dᵀBᵏd
s.t. gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i = 1,2,3
     ||d|| ≤ Δₖ

其中Bᵏ是Hessian近似，初始可用单位矩阵。

步骤4：信赖域子问题求解

在当前迭代中，我们需要求解：

min [-2, -4]d + ½dᵀId
s.t. -2 + [2,2]d ≤ 0
     -1 + [-1,0]d ≤ 0
     -1 + [0,-1]d ≤ 0
     ||d|| ≤ 0.5

这是一个二次规划问题，可用积极集法求解。通过计算得到可行方向d。

步骤5：接受性检验与信赖域调整

计算实际下降量与预测下降量的比值：

ρ = [P(xᵏ) - P(xᵏ + d)] / [Q(0) - Q(d)]

其中Q(d)是线性化模型的目标函数。

如果ρ > 0.75，接受步长并可能扩大信赖域
如果ρ < 0.25，拒绝步长并缩小信赖域
否则保持当前信赖域大小

步骤6：屏障参数自适应更新

根据收敛情况更新屏障参数：

μₖ₊₁ = σμₖ, 其中0 < σ < 1

典型取σ = 0.1～0.5，根据约束违反程度调整。

步骤7：收敛性检查

检查以下收敛条件：

1. 梯度条件：||∇P(xᵏ; μ)|| < ε₁
2. 约束可行性：max(gᵢ(x)) < ε₂
3. 互补性条件：μ < ε₃

如果满足所有条件，算法终止；否则返回步骤3继续迭代。

算法特点与优势

1. 序列线性化：将复杂非线性问题转化为序列线性子问题
2. 信赖域反射：保证迭代稳定性和全局收敛性
3. 自适应屏障：自动调整屏障参数，平衡最优性与可行性
4. 混合策略：结合多种技术的优点，提高鲁棒性

这个算法特别适合处理中等规模的非线性约束优化问题，在工程优化、经济建模等领域有广泛应用。