非线性规划中的自适应惩罚函数法进阶题
字数 2388 2025-11-26 04:13:43

非线性规划中的自适应惩罚函数法进阶题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
最小化 \(f(x) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2\)
约束条件为：

  1. \(g_1(x) = x_1^2 - x_2 \leq 0\)
  2. \(g_2(x) = x_1 + x_2 - 2 \leq 0\)
  3. \(x_1 \geq 0, x_2 \geq 0\)

要求使用自适应惩罚函数法求解该问题，初始惩罚参数 \(\mu_0 = 1\)，自适应更新因子 \(\beta = 2\)，初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)，收敛容差 \(\epsilon = 10^{-4}\)。

解题过程循序渐进讲解：

1. 问题分析
目标函数 \(f(x)\) 是一个二次凸函数，约束包括非线性不等式 \(g_1(x)\) 和线性不等式 \(g_2(x)\)。自适应惩罚函数法通过动态调整惩罚参数，将约束问题转化为一系列无约束子问题。

2. 自适应惩罚函数构造
定义惩罚函数为：

\[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \cdot \sum_{i=1}^{2} \left[ \max(0, g_i(x)) \right]^2 \]

其中 \(\mu\) 是惩罚参数，\(\max(0, g_i(x))\) 对违反约束进行惩罚。

  • 初始参数：\(\mu_0 = 1\)，初始点 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\)。

3. 第一次迭代（k=0）
步骤 3.1：计算约束违反度
在 \(x^{(0)} = (0.5, 0.5)\) 处：

  • \(g_1(x) = 0.25 - 0.5 = -0.25 \leq 0\)（满足）
  • \(g_2(x) = 0.5 + 0.5 - 2 = -1 \leq 0\)（满足）
    约束违反度 \(V(x^{(0)}) = 0\)。

步骤 3.2：构造惩罚函数
由于无违反约束，惩罚函数为：

\[ P(x, \mu_0) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 \]

步骤 3.3：求解无约束子问题
最小化 \(P(x, \mu_0)\)：

  • 梯度为 \(\nabla P = [2(x_1 - 2), 2(x_2 - 1)]\)，令梯度为零得最优解 \(x^* = (2, 1)\)。
  • 但需验证可行性：在 \(x^* = (2, 1)\) 处，\(g_1(x) = 4 - 1 = 3 > 0\)（违反约束），因此需调整惩罚参数。

步骤 3.4：更新惩罚参数
由于 \(x^*\) 不可行，按规则更新 \(\mu\)：

\[ \mu_1 = \beta \cdot \mu_0 = 2 \cdot 1 = 2 \]

进入下一次迭代。

4. 第二次迭代（k=1）
步骤 4.1：构造惩罚函数
惩罚函数为：

\[ P(x, \mu_1) = (x_1 - 2)^2 + (x_2 - 1)^2 + 2 \cdot \left[ \max(0, x_1^2 - x_2) \right]^2 + 2 \cdot \left[ \max(0, x_1 + x_2 - 2) \right]^2 \]

步骤 4.2：求解无约束子问题
使用梯度下降法，从 \(x^{(1)} = (0.5, 0.5)\) 开始：

  • 计算梯度 \(\nabla P\)：
    • \(\frac{\partial P}{\partial x_1} = 2(x_1 - 2) + 4 \cdot \max(0, x_1^2 - x_2) \cdot 2x_1 + 4 \cdot \max(0, x_1 + x_2 - 2)\)
    • \(\frac{\partial P}{\partial x_2} = 2(x_2 - 1) - 4 \cdot \max(0, x_1^2 - x_2) + 4 \cdot \max(0, x_1 + x_2 - 2)\)
      在 \(x^{(1)}\) 处无违反约束，梯度为 \([-3, -1]\)，沿负梯度方向搜索。
  • 通过线搜得到新点 \(x^{(2)} \approx (1.2, 0.8)\)。
  • 验证约束：\(g_1(x^{(2)}) = 1.44 - 0.8 = 0.64 > 0\)（违反），需继续增大 \(\mu\)。

步骤 4.3：更新惩罚参数

\[ \mu_2 = \beta \cdot \mu_1 = 2 \cdot 2 = 4 \]

5. 后续迭代与收敛
重复以上步骤，每次增大 \(\mu_k\) 并求解无约束子问题。随着 \(\mu_k\) 增大，违反约束的惩罚加剧，解逐渐趋近可行域。

  • 当 \(\mu_k\) 足够大时，无约束子问题的解逼近原问题的最优解。
  • 收敛条件：约束违反度 \(V(x^{(k)}) < \epsilon\) 且目标函数变化小于容差。
    最终解近似为 \(x^* \approx (1.0, 1.0)\)，此时 \(f(x^*) = 1.0\)，约束满足 \(g_1(x^*) = 0, g_2(x^*) = 0\)。

6. 关键点总结

  • 自适应惩罚函数法通过动态调整 \(\mu\)，平衡目标函数与约束违反。
  • 每次迭代求解无约束优化问题，可使用梯度法或牛顿法。
  • 惩罚参数更新策略影响收敛速度，需避免 \(\mu\) 过大导致病态。
非线性规划中的自适应惩罚函数法进阶题 题目描述 ： 考虑非线性规划问题： 最小化 \( f(x) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \) 约束条件为： \( g_ 1(x) = x_ 1^2 - x_ 2 \leq 0 \) \( g_ 2(x) = x_ 1 + x_ 2 - 2 \leq 0 \) \( x_ 1 \geq 0, x_ 2 \geq 0 \) 要求使用自适应惩罚函数法求解该问题，初始惩罚参数 \( \mu_ 0 = 1 \)，自适应更新因子 \( \beta = 2 \)，初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)，收敛容差 \( \epsilon = 10^{-4} \)。 解题过程循序渐进讲解 ： 1. 问题分析 目标函数 \( f(x) \) 是一个二次凸函数，约束包括非线性不等式 \( g_ 1(x) \) 和线性不等式 \( g_ 2(x) \)。自适应惩罚函数法通过动态调整惩罚参数，将约束问题转化为一系列无约束子问题。 2. 自适应惩罚函数构造 定义惩罚函数为： \[ P(x, \mu) = f(x) + \mu \cdot \sum_ {i=1}^{2} \left[ \max(0, g_ i(x)) \right ]^2 \] 其中 \( \mu \) 是惩罚参数，\( \max(0, g_ i(x)) \) 对违反约束进行惩罚。 初始参数：\( \mu_ 0 = 1 \)，初始点 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \)。 3. 第一次迭代（k=0） 步骤 3.1：计算约束违反度 在 \( x^{(0)} = (0.5, 0.5) \) 处： \( g_ 1(x) = 0.25 - 0.5 = -0.25 \leq 0 \)（满足） \( g_ 2(x) = 0.5 + 0.5 - 2 = -1 \leq 0 \)（满足） 约束违反度 \( V(x^{(0)}) = 0 \)。 步骤 3.2：构造惩罚函数 由于无违反约束，惩罚函数为： \[ P(x, \mu_ 0) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 \] 步骤 3.3：求解无约束子问题 最小化 \( P(x, \mu_ 0) \)： 梯度为 \( \nabla P = [ 2(x_ 1 - 2), 2(x_ 2 - 1)] \)，令梯度为零得最优解 \( x^* = (2, 1) \)。 但需验证可行性：在 \( x^* = (2, 1) \) 处，\( g_ 1(x) = 4 - 1 = 3 > 0 \)（违反约束），因此需调整惩罚参数。 步骤 3.4：更新惩罚参数 由于 \( x^* \) 不可行，按规则更新 \( \mu \)： \[ \mu_ 1 = \beta \cdot \mu_ 0 = 2 \cdot 1 = 2 \] 进入下一次迭代。 4. 第二次迭代（k=1） 步骤 4.1：构造惩罚函数 惩罚函数为： \[ P(x, \mu_ 1) = (x_ 1 - 2)^2 + (x_ 2 - 1)^2 + 2 \cdot \left[ \max(0, x_ 1^2 - x_ 2) \right]^2 + 2 \cdot \left[ \max(0, x_ 1 + x_ 2 - 2) \right ]^2 \] 步骤 4.2：求解无约束子问题 使用梯度下降法，从 \( x^{(1)} = (0.5, 0.5) \) 开始： 计算梯度 \( \nabla P \)： \( \frac{\partial P}{\partial x_ 1} = 2(x_ 1 - 2) + 4 \cdot \max(0, x_ 1^2 - x_ 2) \cdot 2x_ 1 + 4 \cdot \max(0, x_ 1 + x_ 2 - 2) \) \( \frac{\partial P}{\partial x_ 2} = 2(x_ 2 - 1) - 4 \cdot \max(0, x_ 1^2 - x_ 2) + 4 \cdot \max(0, x_ 1 + x_ 2 - 2) \) 在 \( x^{(1)} \) 处无违反约束，梯度为 \( [ -3, -1 ] \)，沿负梯度方向搜索。 通过线搜得到新点 \( x^{(2)} \approx (1.2, 0.8) \)。 验证约束：\( g_ 1(x^{(2)}) = 1.44 - 0.8 = 0.64 > 0 \)（违反），需继续增大 \( \mu \)。 步骤 4.3：更新惩罚参数 \[ \mu_ 2 = \beta \cdot \mu_ 1 = 2 \cdot 2 = 4 \] 5. 后续迭代与收敛 重复以上步骤，每次增大 \( \mu_ k \) 并求解无约束子问题。随着 \( \mu_ k \) 增大，违反约束的惩罚加剧，解逐渐趋近可行域。 当 \( \mu_ k \) 足够大时，无约束子问题的解逼近原问题的最优解。 收敛条件：约束违反度 \( V(x^{(k)}) < \epsilon \) 且目标函数变化小于容差。 最终解近似为 \( x^* \approx (1.0, 1.0) \)，此时 \( f(x^ ) = 1.0 \)，约束满足 \( g_ 1(x^ ) = 0, g_ 2(x^* ) = 0 \)。 6. 关键点总结 自适应惩罚函数法通过动态调整 \( \mu \)，平衡目标函数与约束违反。 每次迭代求解无约束优化问题，可使用梯度法或牛顿法。 惩罚参数更新策略影响收敛速度，需避免 \( \mu \) 过大导致病态。