龙贝格积分法在带边界层函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述：
考虑计算积分

\[I = \int_0^1 \frac{e^{-x/\epsilon}}{1 + x^2} \, dx \]

其中 \(\epsilon = 0.01\) 是一个小参数，导致被积函数在 \(x = 0\) 附近存在边界层（即函数在该区域变化剧烈）。要求使用龙贝格积分法计算该积分，并设计权函数匹配策略以提升计算效率与精度。

解题过程：

1. 问题分析：

   • 被积函数 \(f(x) = \frac{e^{-x/\epsilon}}{1 + x^2}\) 在 \(x=0\) 附近因指数项 \(e^{-x/\epsilon}\) 而剧烈衰减，形成边界层（宽度约 \(O(\epsilon)\)）。
   • 直接应用龙贝格积分法（基于等距节点）需极细划分才能捕捉边界层变化，计算成本高。
   • 权函数匹配的核心思想：通过变量替换或权重调整，使积分节点在边界层区域更密集。

2. 权函数匹配策略：

   • 选择匹配函数 \(w(x) = e^{-x/\epsilon}\)，其行为与边界层特性一致。
   • 将原积分改写为：

\[ I = \int_0^1 w(x) \cdot \frac{1}{1 + x^2} \, dx \]

 此时，被积部分 $\frac{1}{1 + x^2}$ 变化平缓，而权重 $w(x)$ 集中分布于边界层。  

• 对 \(w(x)\) 进行变量替换：令 \(t = x/\epsilon\)，则 \(x = \epsilon t\)，\(dx = \epsilon dt\)，积分变为：

\[ I = \int_0^{1/\epsilon} \frac{\epsilon e^{-t}}{1 + (\epsilon t)^2} \, dt \]

 新积分区间 $[0, 100]$，被积函数在 $t$ 较大时因 $e^{-t}$ 可忽略，实际有效区间为 $[0, 10]$ 左右。

3. 应用龙贝格积分法：
   • 对变换后的积分 \(I = \int_0^{100} g(t) \, dt\)，其中 \(g(t) = \frac{\epsilon e^{-t}}{1 + (\epsilon t)^2}\)，使用龙贝格积分法：
     • 步骤1：初始化梯形序列。设 \(h_0 = 100\)（初始步长），\(R_{0,0} = \frac{h_0}{2} [g(0) + g(100)]\)。
     • 步骤2：逐次二分步长，计算梯形公式近似。例如：
       • \(h_1 = 50\)，\(R_{1,0} = \frac{1}{2} R_{0,0} + h_1 \sum_{k=1}^{2^1} g((2k-1)h_1)\)。
     • 步骤3：利用Richardson外推加速收敛。递推公式为：

\[ R_{k,m} = \frac{4^m R_{k,m-1} - R_{k-1,m-1}}{4^m - 1}, \quad m = 1, 2, \dots, k \]

   其中 $R_{k,0}$ 为第 $k$ 次二分的梯形值，$R_{k,m}$ 为外推后的更高精度值。  
 - **步骤4**：检查相邻外推值的误差 $|R_{k,k} - R_{k-1,k-1}| < \delta$（设定容差 $\delta = 10^{-8}$），满足则终止。

4. 实际计算与优化：

   • 由于 \(g(t)\) 在 \(t > 10\) 时值极小（\(< 10^{-4}\)），可截断积分上限为 \(T = 10\)，即计算 \(I \approx \int_0^{10} g(t) \, dt\)，减少计算量。
   • 龙贝格法在均匀网格上对平滑的 \(g(t)\) 收敛快，通常 \(k=5\) 或 \(6\) 次外推即可达到高精度。

5. 结果分析：

   • 通过权函数匹配的变量替换，将原积分的边界层“拉伸”到更易处理的区间，避免了直接计算时需密集采样边界层的困难。
   • 龙贝格法的外推技术进一步利用低精度结果加速收敛，显著减少函数求值次数。

总结：
权函数匹配结合龙贝格积分法，通过变量替换将边界层问题转化为平滑函数积分，再利用外推技术高效计算。此法适用于带指数边界层的积分，可灵活调整匹配函数以适应不同衰减特性。