高斯-勒让德求积公式在电磁场计算中的奇点处理技巧
题目描述
在计算电磁场问题中的边界积分方程时，常会遇到形如以下的积分：
\[I = \int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{(x - x_0)^2 + \varepsilon^2}} \, dx \]
其中 \(x_0 \in [-1, 1]\) 是奇点位置，\(\varepsilon > 0\) 是一个小参数（例如模拟边界层厚度），\(f(x)\) 是光滑函数。这类积分在 \(\varepsilon \to 0\) 时表现出近奇异性，直接使用高斯-勒让德求积公式需要大量节点才能保证精度。请设计一种变量替换方法，通过坐标变换消除或减弱奇点的影响，使高斯-勒让德求积公式能用较少节点达到高精度。
解题过程
1. 问题分析
原积分在 \(x \to x_0\) 时被积函数趋于无穷大，但实际因 \(\varepsilon > 0\) 而可积。直接应用高斯-勒让德求积公式时，多项式逼近在奇点附近效果差，需要大量节点才能捕捉剧烈变化。目标是构造变量替换 \(x = g(t)\)，使得新被积函数更平滑，从而用较少节点获得高精度。
2. 变量替换设计
核心思想是通过函数 \(g(t)\) 将积分区间映射到自身，并在奇点附近“拉伸”坐标，使被积函数变化平缓。选用正弦缩放变换：
\[x = x_0 + \varepsilon \sinh\left( \frac{t - t_0}{\alpha} \right) \]
其中 \(t_0\) 对应 \(x_0\)，参数 \(\alpha\) 控制拉伸强度。但此形式可能使积分区间偏离 \([-1,1]\)，需调整为更实用的形式。
实际替换步骤：
- 将积分拆分为两个子区间 \([-1, x_0]\) 和 \([x_0, 1]\)，以奇点分界。
- 在每个子区间上使用双曲正弦变换。以右区间 \([x_0, 1]\) 为例：
- 令 \(u = x - x_0\)，积分变为：
\[ I_+ = \int_{0}^{1 - x_0} \frac{f(x_0 + u)}{\sqrt{u^2 + \varepsilon^2}} \, du \]
- 作替换 \(u = \varepsilon \sinh(kt)\)，其中 \(k\) 为缩放因子。
- 新变量 \(t\) 的范围为 \([0, T]\)，\(T = \frac{1}{k} \sinh^{-1}\left( \frac{1 - x_0}{\varepsilon} \right)\)。
- 积分变为：
\[ I_+ = \varepsilon k \int_{0}^{T} \frac{f(x_0 + \varepsilon \sinh(kt)) \cosh(kt)}{\sqrt{\varepsilon^2 \sinh^2(kt) + \varepsilon^2}} \, dt = k \int_{0}^{T} f(x_0 + \varepsilon \sinh(kt)) \cosh(kt) \, dt \]
- 通过线性变换 \(t = \frac{T}{2}(s + 1)\) 将积分区间映射回 \([-1,1]\)，得到：
\[ I_+ = \frac{kT}{2} \int_{-1}^{1} f\left(x_0 + \varepsilon \sinh\left( \frac{kT}{2}(s + 1) \right) \right) \cosh\left( \frac{kT}{2}(s + 1) \right) ds \]
- 对左区间 \([-1, x_0]\) 做类似处理（替换 \(u = x_0 - x\)）。
3. 参数选择
- 缩放因子 \(k\) 控制拉伸强度：通常取 \(k = 1\) 或通过试验选择，使 \(\cosh(kT)\) 不过大。
- 若 \(\varepsilon\) 非常小，\(T \approx \frac{1}{k} \ln\left( \frac{2(1 - x_0)}{\varepsilon} \right)\)，需注意数值溢出问题。
4. 应用高斯-勒让德求积
对变换后的积分：
\[I_+ \approx \frac{kT}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i f\left(x_0 + \varepsilon \sinh\left( \frac{kT}{2}(s_i + 1) \right) \right) \cosh\left( \frac{kT}{2}(s_i + 1) \right) \]
其中 \((s_i, w_i)\) 是 \(n\) 阶高斯-勒让德求积公式的节点和权重。由于变换后函数更平滑，通常较小的 \(n\)（如 10-20）即可达到高精度。
5. 误差与验证
- 误差来源：高斯-勒让德公式的截断误差，与函数光滑性相关。变换后 \(f \cdot \cosh\) 在 \(s \in [-1,1]\) 上近似多项式，误差显著降低。
- 验证方法：
- 与自适应积分结果对比。
- 取 \(f(x) = 1\) 时，解析解为：
\[ I = \ln\left( \frac{\sqrt{(1 - x_0)^2 + \varepsilon^2} + 1 - x_0}{\sqrt{(1 + x_0)^2 + \varepsilon^2} - (1 + x_0)} \right) \]
可比较数值解的相对误差。
6. 总结
通过双曲正弦变换，将奇点附近的剧烈变化“拉伸”到更大区间，使被积函数更平滑，高斯-勒让德求积公式只需较少节点即可达到高精度。该方法适用于电磁场、声学等领域中带近奇异核的边界积分计算。