非线性规划中的连续二次规划算法进阶题 问题描述 考虑非线性规划问题： min f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² s.t. g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 这是一个带不等式约束的非线性优化问题，目标函数为四次函数，约束包含二次不等式和线性不等式。 解题过程 1. 算法原理介绍 连续二次规划（CQP）是序列二次规划（SQP）的特例，核心思想是在当前迭代点构造二次规划子问题，通过求解该子问题获得搜索方向。与标准SQP的区别在于，CQP更强调通过连续求解一系列二次规划问题来逼近原问题解。 2. 构建拉格朗日函数 首先构造拉格朗日函数： L(x,λ) = f(x) + λ₁g₁(x) + λ₂g₂(x) 其中 λ = [ λ₁, λ₂ ]ᵀ 为拉格朗日乘子 3. 计算梯度信息 在当前点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 处计算： ∇f(x) = [ 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂), -4(x₁ - 2x₂) ]ᵀ ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [ -32 - 4, 8] = [ -36, 8 ]ᵀ 约束梯度： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ, ∇g₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0]ᵀ, ∇g₂(x⁰) = [ -1, 0 ]ᵀ 4. 构造Hessian矩阵近似 由于精确Hessian计算复杂，采用BFGS公式更新近似： 初始H⁰ = I（单位矩阵） ∇²L ≈ H⁰ = [ [ 1, 0], [ 0, 1] ] 5. 构建二次规划子问题 在x⁰处构造QP子问题： min ½dᵀH⁰d + ∇f(x⁰)ᵀd s.t. g₁(x⁰) + ∇g₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 代入数值： min ½(d₁² + d₂²) - 36d₁ + 8d₂ s.t. -1 + [ 0, -1]·[ d₁, d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -1 - d₂ ≤ 0 0 + [ -1, 0]·[ d₁, d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -d₁ ≤ 0 6. 求解QP子问题 化简约束： d₂ ≥ -1, d₁ ≥ 0 目标函数梯度为零得最优解： ∂/∂d₁: d₁ - 36 = 0 → d₁ = 36 ∂/∂d₂: d₂ + 8 = 0 → d₂ = -8 检查可行性：d₂ = -8 ≥ -1? 不满足！ 因此需在边界d₂ = -1处取解： 代入d₂ = -1: ½(d₁² + 1) - 36d₁ - 8 对d₁求导：d₁ - 36 = 0 → d₁ = 36 ∴ 搜索方向 d⁰ = [ 36, -1 ]ᵀ 7. 线搜索确定步长 使用Armijo线搜索，令α = 1，检查下降条件： f(x⁰ + αd⁰) = f([ 36, 0 ]) = (34)⁴ + (36)² 需满足充分下降条件，实际计算可采用回溯法确定合适步长。 8. 更新迭代点 x¹ = x⁰ + αd⁰ 同时更新Hessian近似和拉格朗日乘子估计，重复上述过程直至收敛。 9. 收敛判断 当‖d‖ < ε 且满足KKT条件时停止迭代，得到局部最优解。 通过这样连续求解二次规划子问题，逐步逼近原问题的最优解，这就是连续二次规划的核心思想。