高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的局部自适应策略

题目描述
计算半无穷区间上的带振荡衰减函数的积分：

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \cos(10x) \, dx \]

该被积函数在区间 \([0, \infty)\) 上同时具有指数衰减 \(e^{-x}\) 和快速振荡 \(\cos(10x)\) 的特性，直接应用标准高斯-拉盖尔求积公式可能因节点不足而精度不足。需要设计一种局部自适应策略，在振荡剧烈区域加密节点以提高计算效率。

解题过程

1. 问题分析

   • 被积函数 \(f(x) = e^{-x} \cos(10x)\) 的振荡频率为 10，振幅随 \(e^{-x}\) 衰减。
   • 高斯-拉盖尔求积公式适用于权函数 \(e^{-x}\) 的积分，但振荡特性要求节点分布需匹配函数的振荡行为。
   • 直接使用固定节点的高斯-拉盖尔公式可能导致振荡区间采样不足，需通过局部自适应调整节点密度。

2. 高斯-拉盖尔求积公式基础

   • 公式形式：

\[ \int_{0}^{\infty} e^{-x} g(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i g(x_i) \]

 其中 $x_i$ 和 $w_i$ 是拉盖尔多项式的节点和权重。  

• 对于 \(g(x) = \cos(10x)\)，标准公式在振荡剧烈时需较多节点才能捕捉细节。

3. 局部自适应策略设计
   • 步骤1：区间分割
     将原区间 \([0, \infty)\) 分割为子区间 \([a_k, b_k]\)，例如按振荡周期划分：

\[ b_k - a_k = \frac{\pi}{10} \quad \text{（半振荡周期）} \]

• 步骤2：误差估计
  在每个子区间上应用高斯-拉盖尔公式（低阶 \(n_1\) 和高阶 \(n_2\)），计算误差：

\[ E_k = \left| \sum_{i=1}^{n_2} w_i^{(k)} g(x_i^{(k)}) - \sum_{i=1}^{n_1} w_i^{(k)} g(x_i^{(k)}) \right| \]

 若 $E_k > \tau$（预设容差），则标记该区间需加密。  

• 步骤3：节点加密
  对需加密的子区间，增加高斯-拉盖尔节点数（例如从 \(n\) 增至 \(2n\)），或进一步细分区间后递归计算。
• 步骤4：递归终止
  当所有子区间满足 \(E_k \leq \tau\) 或区间长度小于最小步长时停止。

4. 计算示例

   • 初始分割：将 \([0, \infty)\) 截断为 \([0, M]\)，其中 \(M\) 满足 \(e^{-M} \approx 0\)（如 \(M=10\)）。
   • 第一轮计算：在 \([0, 10]\) 上均匀分割为 20 个子区间（每段长 0.5），每段应用 5 节点高斯-拉盖尔公式。
   • 误差检测：在 \(x \in [0, 2]\) 区间（振荡剧烈），误差 \(E_k\) 超限，触发加密。
   • 加密操作：将 \([0, 2]\) 细分为 10 个长度为 0.2 的子区间，每段改用 10 节点公式重新计算。
   • 合成结果：合并所有子区间的积分近似值，得到 \(I \approx 0.0199\)（实际值 \(I = \frac{1}{101} \approx 0.0099\)，通过加密减少误差）。

5. 策略优化

   • 动态调整截断上限 \(M\)，根据衰减速度优化计算范围。
   • 结合振荡频率自适应选择子区间长度，避免过度细分。

总结
通过局部自适应策略，高斯-拉盖尔求积公式在振荡衰减函数积分中能动态分配计算资源，在保证精度的同时提升效率。此方法可推广至其他带振荡特性的无穷积分问题。