非线性规划中的可行顺序线性规划(FSLP)算法进阶题
字数 2326 2025-11-26 00:27:22

非线性规划中的可行顺序线性规划(FSLP)算法进阶题

我将为您详细讲解可行顺序线性规划(FSLP)算法的一个进阶题目。这个算法是处理非线性约束优化问题的重要方法。

问题描述
考虑以下非线性规划问题：
最小化：f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)²
约束条件：
g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0
g₂(x) = -x₁ ≤ 0
g₃(x) = -x₂ ≤ 0
初始可行点：x⁰ = [0, 1]ᵀ

解题过程详解

第一步：算法基本原理理解
可行顺序线性规划(FSLP)的核心思想是：

  1. 在每次迭代中，在当前点将非线性函数线性化（一阶泰勒展开）
  2. 求解得到的线性规划子问题
  3. 通过线搜索确保新迭代点既改善目标函数又保持可行性
  4. 重复直到收敛

第二步：初始化设置
给定初始点 x⁰ = [0, 1]ᵀ
验证可行性：

  • g₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0 ✓
  • g₂(x⁰) = -0 = 0 ≤ 0 ✓
  • g₃(x⁰) = -1 = -1 ≤ 0 ✓
    初始点可行，目标函数值 f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20

第三步：第一次迭代 - 构建线性化子问题

计算梯度：
∇f(x) = [4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂)]ᵀ
在x⁰处：
∇f(x⁰) = [4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [4×(-8) + 2×(-2), 8] = [-32-4, 8] = [-36, 8]ᵀ

约束梯度：
∇g₁(x) = [2x₁, -1]ᵀ → ∇g₁(x⁰) = [0, -1]ᵀ
∇g₂(x) = [-1, 0]ᵀ
∇g₃(x) = [0, -1]ᵀ

构建线性规划子问题：
最小化：∇f(x⁰)ᵀd = -36d₁ + 8d₂
约束条件：
g₁(x⁰) + ∇g₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -1 + [0, -1][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -1 - d₂ ≤ 0
g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 → 0 + [-1, 0][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -d₁ ≤ 0
g₃(x⁰) + ∇g₃(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -1 + [0, -1][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -1 - d₂ ≤ 0
移动限制：||d||∞ ≤ 0.5

第四步：求解线性规划子问题

线性规划问题：
最小化：-36d₁ + 8d₂
约束条件：
d₂ ≥ -1
d₁ ≥ 0
d₂ ≥ -1
-0.5 ≤ d₁ ≤ 0.5
-0.5 ≤ d₂ ≤ 0.5

分析：目标函数系数中d₁的系数-36（负值意味着增加d₁可减小目标函数），d₂的系数+8（正值意味着减小d₂可减小目标函数）

在移动限制下，取d₁最大值0.5，d₂最小值-0.5
得到搜索方向 d⁰ = [0.5, -0.5]ᵀ

第五步：线搜索确定步长

使用Armijo型可行性保持线搜索：
尝试步长α，要求：

  1. 充分下降：f(x⁰ + αd⁰) ≤ f(x⁰) + c₁α∇f(x⁰)ᵀd⁰
  2. 可行性：gᵢ(x⁰ + αd⁰) ≤ 0, i=1,2,3

计算：∇f(x⁰)ᵀd⁰ = [-36, 8][0.5, -0.5]ᵀ = -18 - 4 = -22

尝试α=1：
x¹ = x⁰ + αd⁰ = [0,1] + [0.5,-0.5] = [0.5, 0.5]
f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125
可行性检查：
g₁(x¹) = 0.5² - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 ≤ 0 ✓
g₂(x¹) = -0.5 ≤ 0 ✓
g₃(x¹) = -0.5 ≤ 0 ✓

目标函数从20降到5.3125，满足充分下降条件。

第六步：第二次迭代

当前点：x¹ = [0.5, 0.5]ᵀ, f(x¹) = 5.3125

计算梯度：
∇f(x¹) = [4(0.5-2)³ + 2(0.5-1), -4(0.5-1)] = [4×(-3.375) + 2×(-0.5), 2] = [-13.5-1, 2] = [-14.5, 2]ᵀ

约束梯度：
∇g₁(x¹) = [2×0.5, -1] = [1, -1]ᵀ
∇g₂(x) = [-1, 0]ᵀ
∇g₃(x) = [0, -1]ᵀ

构建线性规划：
最小化：-14.5d₁ + 2d₂
约束条件：
g₁(x¹) + ∇g₁(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.25 + [1, -1][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -0.25 + d₁ - d₂ ≤ 0
g₂(x¹) + ∇g₂(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.5 + [-1, 0][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -0.5 - d₁ ≤ 0
g₃(x¹) + ∇g₃(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.5 + [0, -1][d₁,d₂]ᵀ ≤ 0 → -0.5 - d₂ ≤ 0
移动限制：||d||∞ ≤ 0.5

第七步：收敛性分析

经过数次迭代后，算法会收敛到KKT点。对于这个问题，最优解在x* ≈ [1, 0.5]附近，其中：

  • 目标函数梯度与约束梯度线性相关
  • 所有约束满足，部分约束处于活跃状态
  • 满足一阶最优性条件

FSLP算法的优势在于始终保持可行性，适合工程应用，但收敛速度是线性的，且需要仔细处理移动限制以避免Maratos效应。

非线性规划中的可行顺序线性规划(FSLP)算法进阶题 我将为您详细讲解可行顺序线性规划(FSLP)算法的一个进阶题目。这个算法是处理非线性约束优化问题的重要方法。 问题描述 考虑以下非线性规划问题： 最小化：f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 初始可行点：x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 解题过程详解 第一步：算法基本原理理解 可行顺序线性规划(FSLP)的核心思想是： 在每次迭代中，在当前点将非线性函数线性化（一阶泰勒展开） 求解得到的线性规划子问题 通过线搜索确保新迭代点既改善目标函数又保持可行性 重复直到收敛 第二步：初始化设置 给定初始点 x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ 验证可行性： g₁(x⁰) = 0² - 1 = -1 ≤ 0 ✓ g₂(x⁰) = -0 = 0 ≤ 0 ✓ g₃(x⁰) = -1 = -1 ≤ 0 ✓ 初始点可行，目标函数值 f(x⁰) = (0-2)⁴ + (0-2)² = 16 + 4 = 20 第三步：第一次迭代 - 构建线性化子问题 计算梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ 在x⁰处： ∇f(x⁰) = [ 4(0-2)³ + 2(0-2), -4(0-2)] = [ 4×(-8) + 2×(-2), 8] = [ -32-4, 8] = [ -36, 8 ]ᵀ 约束梯度： ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1]ᵀ → ∇g₁(x⁰) = [ 0, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 构建线性规划子问题： 最小化：∇f(x⁰)ᵀd = -36d₁ + 8d₂ 约束条件： g₁(x⁰) + ∇g₁(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -1 + [ 0, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -1 - d₂ ≤ 0 g₂(x⁰) + ∇g₂(x⁰)ᵀd ≤ 0 → 0 + [ -1, 0][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -d₁ ≤ 0 g₃(x⁰) + ∇g₃(x⁰)ᵀd ≤ 0 → -1 + [ 0, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -1 - d₂ ≤ 0 移动限制：||d||∞ ≤ 0.5 第四步：求解线性规划子问题 线性规划问题： 最小化：-36d₁ + 8d₂ 约束条件： d₂ ≥ -1 d₁ ≥ 0 d₂ ≥ -1 -0.5 ≤ d₁ ≤ 0.5 -0.5 ≤ d₂ ≤ 0.5 分析：目标函数系数中d₁的系数-36（负值意味着增加d₁可减小目标函数），d₂的系数+8（正值意味着减小d₂可减小目标函数） 在移动限制下，取d₁最大值0.5，d₂最小值-0.5 得到搜索方向 d⁰ = [ 0.5, -0.5 ]ᵀ 第五步：线搜索确定步长 使用Armijo型可行性保持线搜索： 尝试步长α，要求： 充分下降：f(x⁰ + αd⁰) ≤ f(x⁰) + c₁α∇f(x⁰)ᵀd⁰ 可行性：gᵢ(x⁰ + αd⁰) ≤ 0, i=1,2,3 计算：∇f(x⁰)ᵀd⁰ = [ -36, 8][ 0.5, -0.5 ]ᵀ = -18 - 4 = -22 尝试α=1： x¹ = x⁰ + αd⁰ = [ 0,1] + [ 0.5,-0.5] = [ 0.5, 0.5 ] f(x¹) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = (-1.5)⁴ + (-0.5)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 可行性检查： g₁(x¹) = 0.5² - 0.5 = 0.25 - 0.5 = -0.25 ≤ 0 ✓ g₂(x¹) = -0.5 ≤ 0 ✓ g₃(x¹) = -0.5 ≤ 0 ✓ 目标函数从20降到5.3125，满足充分下降条件。 第六步：第二次迭代 当前点：x¹ = [ 0.5, 0.5 ]ᵀ, f(x¹) = 5.3125 计算梯度： ∇f(x¹) = [ 4(0.5-2)³ + 2(0.5-1), -4(0.5-1)] = [ 4×(-3.375) + 2×(-0.5), 2] = [ -13.5-1, 2] = [ -14.5, 2 ]ᵀ 约束梯度： ∇g₁(x¹) = [ 2×0.5, -1] = [ 1, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 构建线性规划： 最小化：-14.5d₁ + 2d₂ 约束条件： g₁(x¹) + ∇g₁(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.25 + [ 1, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -0.25 + d₁ - d₂ ≤ 0 g₂(x¹) + ∇g₂(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.5 + [ -1, 0][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -0.5 - d₁ ≤ 0 g₃(x¹) + ∇g₃(x¹)ᵀd ≤ 0 → -0.5 + [ 0, -1][ d₁,d₂ ]ᵀ ≤ 0 → -0.5 - d₂ ≤ 0 移动限制：||d||∞ ≤ 0.5 第七步：收敛性分析 经过数次迭代后，算法会收敛到KKT点。对于这个问题，最优解在x* ≈ [ 1, 0.5 ]附近，其中： 目标函数梯度与约束梯度线性相关 所有约束满足，部分约束处于活跃状态 满足一阶最优性条件 FSLP算法的优势在于始终保持可行性，适合工程应用，但收敛速度是线性的，且需要仔细处理移动限制以避免Maratos效应。