基于线性规划的图最大匹配问题的原始-对偶近似算法求解示例 我将为您详细讲解如何利用原始-对偶方法求解图的最大匹配问题。这是一个经典的组合优化问题，在资源分配、任务调度等领域有广泛应用。 问题描述 考虑一个无向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。匹配是指边的子集M⊆E，且M中任意两条边都不共享公共顶点。我们的目标是找到包含边数最多的匹配，即最大匹配。 线性规划建模 首先建立该问题的线性规划松弛模型： 原始问题： 最大化：∑ᵉ xₑ 满足： 对于所有顶点v∈V：∑_ {e∋v} xₑ ≤ 1 对于所有边e∈E：xₑ ≥ 0 对偶问题： 最小化：∑ᵥ yᵥ 满足： 对于所有边e=(u,v)∈E：yᵤ + yᵥ ≥ 1 对于所有顶点v∈V：yᵥ ≥ 0 原始-对偶算法步骤 步骤1：初始化 设置所有原始变量xₑ = 0（初始匹配为空） 设置所有对偶变量yᵥ = 0 定义活跃边集合A = {e∈E | yᵤ + yᵥ = 1}（初始为空） 步骤2：迭代过程 当存在未被覆盖的顶点时，执行以下循环： 步骤2.1：选择未覆盖顶点 从当前匹配未覆盖的顶点中任选一个顶点u。 步骤2.2：增长阶段 以u为根构建交替树： 从u出发，沿着活跃边A进行广度优先搜索 交替树包含从u出发的路径，路径上边交替地不在匹配和在匹配中 步骤2.3：对偶变量更新 如果交替树增长过程中找到了一个未覆盖顶点v（v≠u），则找到了一条增广路径，转到步骤2.4。 否则，计算： ε = min{1 - (yᵤ + yᵥ) | u在树中，v不在树中，且(u,v)∈E\A} 更新对偶变量： 对于树中所有顶点：yᵥ = yᵥ + ε 对于树外所有顶点：yᵥ保持不变 更新活跃边集合A。 步骤2.4：增广操作 如果找到增广路径P（连接两个未覆盖顶点的路径）： 对于路径P上的边：如果原来在匹配中，则移除；如果原来不在匹配中，则加入 这样匹配的大小增加1 步骤3：终止条件 当所有顶点都被覆盖或无法再找到增广路径时，算法终止。 具体实例演示 考虑图G=(V,E)，其中V={1,2,3,4}，E={(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)}。 迭代1： 初始：x=0, y=0, A=∅ 选择顶点1（未覆盖） 增长交替树：只有顶点1 更新对偶：ε=min{1-0}=1 更新：y₁=1，其他不变 活跃边更新：A={(1,2),(1,4)} 继续增长：顶点2,4加入树 找到增广路径1-2：将边(1,2)加入匹配 迭代2： 当前匹配：{(1,2)} 选择顶点3（未覆盖） 增长交替树：顶点3 更新对偶：ε=min{1-0}=1 更新：y₃=1 活跃边更新：A新增(2,3),(3,4) 继续增长：顶点2已在匹配中，但可通过交替路径到达 找到增广路径3-2-1-4：沿路径增广 新匹配：{(1,4),(2,3)} 算法终止 得到最大匹配{(1,4),(2,3)}，大小为2。 算法分析 时间复杂度：O(|V|³) 近似比：这是一个精确算法，能找到精确最大匹配 关键点：通过维护原始可行解和对偶可行解，利用互补松弛条件保证解的最优性 这个算法展示了原始-对偶方法在图匹配问题中的优美应用，通过交替更新原始解和对偶解，逐步逼近最优解。