基于线性规划的图最大流问题的Push-Relabel算法求解示例 我将为您详细讲解基于线性规划的图最大流问题的Push-Relabel算法求解过程。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是有向边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定一个源点s∈V和一个汇点t∈V。最大流问题是寻找从s到t的最大流量，满足容量约束和流量守恒约束。 线性规划建模 最大流问题可以表述为线性规划： 最大化：∑ {(s,v)∈E} f(s,v) - ∑ {(v,s)∈E} f(v,s) 约束条件： 容量约束：0 ≤ f(u,v) ≤ c(u,v)，对所有(u,v)∈E 流量守恒：∑ {(u,v)∈E} f(u,v) = ∑ {(v,w)∈E} f(v,w)，对所有v∈V\{s,t} Push-Relabel算法原理 Push-Relabel算法采用不同的视角，不保持可行流，而是通过不断调整逐步达到最大流。 核心概念定义 预流：满足容量约束但允许顶点有正超额流的流 超额流：e(v) = ∑ {(u,v)∈E} f(u,v) - ∑ {(v,w)∈E} f(v,w) 高度函数：h: V → ℕ，满足h(s)=|V|，h(t)=0，且对残量边(u,v)有h(u) ≤ h(v) + 1 允许边：在残量图中满足h(u) = h(v) + 1的边(u,v) 算法步骤详解 步骤1：初始化 创建初始预流： 对源点s的所有出边(s,v)，设置f(s,v) = c(s,v) 其他边流量设为0 设置初始高度： h(s) = |V| h(v) = 0，对所有v∈V\{s} 步骤2：基本操作定义 Push操作（推流操作）： 当顶点u有正超额流e(u)>0，且存在允许边(u,v)时： δ = min(e(u), c_ f(u,v))，其中c_ f(u,v)是残量容量 将δ单位流量从u推到v 更新：f(u,v) = f(u,v) + δ，f(v,u) = f(v,u) - δ 更新超额流：e(u) = e(u) - δ，e(v) = e(v) + δ Relabel操作（重标号操作）： 当顶点u有正超额流，但没有允许边时： h(u) = 1 + min{h(v) : (u,v)是残量边} 步骤3：主算法流程 while 存在活跃顶点（e(u)>0且u≠s,t） do 选择任意活跃顶点u if 存在允许边(u,v) then Push(u,v) else Relabel(u) end if end while 步骤4：算法终止 当没有活跃顶点时，当前的预流就是最大流。 算法正确性分析 高度函数始终保持有效：h(s)=|V|，h(t)=0，且对残量边有h(u) ≤ h(v) + 1 重标号操作保证当顶点有超额流时，最终能找到允许边 算法终止时，流量满足所有约束且达到最大 复杂度分析 重标号次数：每个顶点最多2|V|次 Push操作次数：O(|V|²|E|) 总时间复杂度：O(|V|²|E|) 实例演示 考虑简单网络：顶点{s,a,b,t}，边： (s,a):容量3, (s,b):容量2, (a,b):容量1, (a,t):容量2, (b,t):容量3 执行过程： 初始化：h(s)=4, 其他为0；从s推流到a和b 顶点a有超额流，推流到b和t 顶点b有超额流，可能需要重标号后推流到t 最终得到最大流值为4 这个算法相比增广路径法的优势在于其局部性和并行性，适合大规模网络流计算。