线性回归的梯度下降优化过程 我将为您详细讲解线性回归中梯度下降优化的完整过程。这个算法通过迭代方式寻找最小化损失函数的最优参数。 1. 问题定义 线性回归的目标是找到一组参数θ，使得线性模型hθ(x) = θ₀ + θ₁x₁ + ... + θₙxₙ能够最好地拟合训练数据。我们通过最小化均方误差损失函数来实现这一目标。 2. 损失函数构建 均方误差损失函数的数学表达式为： J(θ) = (1/2m) × Σᵢ₌₁ᵐ (hθ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾)² 其中m是样本数量，hθ(x⁽ⁱ⁾)是第i个样本的预测值，y⁽ⁱ⁾是真实值。系数1/2是为了后续求导计算方便。 3. 梯度计算 梯度下降的核心思想是沿着损失函数梯度的反方向更新参数。对每个参数θⱼ求偏导数： ∂J(θ)/∂θⱼ = (1/m) × Σᵢ₌₁ᵐ (hθ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾) × xⱼ⁽ⁱ⁾ 这个梯度表示了损失函数在θⱼ方向上的变化率。 4. 参数更新规则 根据梯度下降原理，参数更新公式为： θⱼ := θⱼ - α × ∂J(θ)/∂θⱼ 其中α是学习率，控制每次更新的步长。将梯度表达式代入得： θⱼ := θⱼ - (α/m) × Σᵢ₌₁ᵐ (hθ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾) × xⱼ⁽ⁱ⁾ 5. 算法执行步骤 步骤1：初始化参数向量θ，通常设为零向量或小的随机值 步骤2：设置学习率α和迭代次数上限 步骤3：重复直到收敛： 计算当前参数下的预测值：hθ(x⁽ⁱ⁾) = θᵀx⁽ⁱ⁾ 计算误差：error = hθ(x⁽ⁱ⁾) - y⁽ⁱ⁾ 计算梯度：grad = (1/m) × Σ(error × xⱼ⁽ⁱ⁾) 更新参数：θⱼ := θⱼ - α × grad 步骤4：检查收敛条件（梯度范数小于阈值或达到最大迭代次数） 6. 学习率选择 学习率α的选择至关重要： α太小：收敛速度过慢 α太大：可能无法收敛，在最优解附近震荡 通常通过实验选择，常见值为0.01、0.001等 7. 收敛性分析 梯度下降保证收敛的条件： 损失函数是凸函数（线性回归的均方误差损失是凸函数） 学习率满足适当条件 迭代次数足够多 8. 算法变体 批量梯度下降：使用全部训练数据计算梯度 随机梯度下降：每次使用单个样本更新参数 小批量梯度下降：折中方案，使用小批量样本 这个优化过程通过不断调整参数，使模型预测逐渐逼近真实值，最终找到最优的线性回归模型参数。