基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组
字数 2244 2025-11-25 15:47:29

基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组

题目描述
给定一个大型稀疏非对称线性方程组 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\)，其中 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 是非奇异矩阵，\(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\) 是已知向量。要求使用基于Krylov子空间的FOM（全正交化方法）算法求解未知向量 \(\mathbf{x}\)。该算法通过构造Krylov子空间的正交基，将原问题转化为一个小规模的线性方程组，从而高效求解。

解题过程

  1. 问题转化与初始设置

    • 设初始猜测解为 \(\mathbf{x}_0\)（通常取零向量或近似解），计算初始残差 \(\mathbf{r}_0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_0\)。
    • 若 \(\|\mathbf{r}_0\|\) 小于预设容差，则 \(\mathbf{x}_0\) 即为解；否则进行下一步。
    • 定义Krylov子空间 \(\mathcal{K}_m(A, \mathbf{r}_0) = \text{span}\{\mathbf{r}_0, A\mathbf{r}_0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_0\}\)，其中 \(m \ll n\) 为子空间维度。

  2. Arnoldi过程生成正交基

    • 通过Arnoldi迭代构造子空间 \(\mathcal{K}_m\) 的一组标准正交基 \(\{\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m\}\)：
      • 令 \(\mathbf{v}_1 = \mathbf{r}_0 / \|\mathbf{r}_0\|\)。
      • 对 \(j = 1, 2, \dots, m\)：
        1. 计算 \(\mathbf{w}_j = A\mathbf{v}_j\)。
        2. 对 \(i = 1\) 到 \(j\)，计算投影系数 \(h_{i,j} = \mathbf{v}_i^\top \mathbf{w}_j\)。
        3. 正交化： \(\mathbf{w}_j \leftarrow \mathbf{w}_j - \sum_{i=1}^j h_{i,j} \mathbf{v}_i\)。
        4. 计算 \(h_{j+1,j} = \|\mathbf{w}_j\|\)，若 \(h_{j+1,j} = 0\) 则提前终止。
        5. 令 \(\mathbf{v}_{j+1} = \mathbf{w}_j / h_{j+1,j}\)。
    • 得到正交矩阵 \(V_m = [\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m]\) 和上Hessenberg矩阵 \(H_m \in \mathbb{R}^{m \times m}\)，满足 \(AV_m = V_m H_m + h_{m+1,m} \mathbf{v}_{m+1} \mathbf{e}_m^\top\)，其中 \(\mathbf{e}_m\) 是第 \(m\) 个单位向量。

  3. 构建并求解投影系统

    • 在子空间 \(\mathcal{K}_m\) 中寻求近似解 \(\mathbf{x}_m = \mathbf{x}_0 + V_m \mathbf{y}_m\)，其中 \(\mathbf{y}_m \in \mathbb{R}^m\)。
    • 根据残差正交性条件（Galerkin条件）\(\mathbf{r}_m \perp \mathcal{K}_m\)，导出方程：

\[ V_m^\top (\mathbf{b} - A\mathbf{x}_m) = 0 \implies V_m^\top A V_m \mathbf{y}_m = V_m^\top \mathbf{r}_0. \]

  • 代入Arnoldi关系 \(V_m^\top A V_m = H_m\) 和 \(V_m^\top \mathbf{r}_0 = \|\mathbf{r}_0\| \mathbf{e}_1\)，得到小规模线性方程组：

\[ H_m \mathbf{y}_m = \|\mathbf{r}_0\| \mathbf{e}_1. \]

  • 解此方程组得 \(\mathbf{y}_m\)，进而计算近似解 \(\mathbf{x}_m = \mathbf{x}_0 + V_m \mathbf{y}_m\)。
  1. 收敛性判断与重启策略
    • 计算残差 \(\mathbf{r}_m = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_m\)。若 \(\|\mathbf{r}_m\|\) 满足容差要求，则输出 \(\mathbf{x}_m\)；否则可采用重启策略：以当前 \(\mathbf{x}_m\) 作为新的初始猜测，重复上述过程直至收敛。

关键点总结

  • FOM利用Krylov子空间和Arnoldi过程将大规模问题降维。
  • Galerkin条件确保残差与子空间正交，导出小规模方程组。
  • 适用于非对称矩阵，但需注意重启以避免存储和计算成本随 \(m\) 增大而显著增加。
基于Krylov子空间的FOM算法解线性方程组 题目描述 给定一个大型稀疏非对称线性方程组 \( A\mathbf{x} = \mathbf{b} \)，其中 \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) 是非奇异矩阵，\( \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n \) 是已知向量。要求使用基于Krylov子空间的FOM（全正交化方法）算法求解未知向量 \( \mathbf{x} \)。该算法通过构造Krylov子空间的正交基，将原问题转化为一个小规模的线性方程组，从而高效求解。 解题过程 问题转化与初始设置 设初始猜测解为 \( \mathbf{x}_ 0 \)（通常取零向量或近似解），计算初始残差 \( \mathbf{r}_ 0 = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ 0 \)。 若 \( \|\mathbf{r}_ 0\| \) 小于预设容差，则 \( \mathbf{x}_ 0 \) 即为解；否则进行下一步。 定义Krylov子空间 \( \mathcal{K}_ m(A, \mathbf{r}_ 0) = \text{span}\{\mathbf{r}_ 0, A\mathbf{r}_ 0, \dots, A^{m-1}\mathbf{r}_ 0\} \)，其中 \( m \ll n \) 为子空间维度。 Arnoldi过程生成正交基 通过Arnoldi迭代构造子空间 \( \mathcal{K}_ m \) 的一组标准正交基 \( \{\mathbf{v}_ 1, \dots, \mathbf{v}_ m\} \)： 令 \( \mathbf{v}_ 1 = \mathbf{r}_ 0 / \|\mathbf{r}_ 0\| \)。 对 \( j = 1, 2, \dots, m \)： 计算 \( \mathbf{w}_ j = A\mathbf{v}_ j \)。 对 \( i = 1 \) 到 \( j \)，计算投影系数 \( h_ {i,j} = \mathbf{v}_ i^\top \mathbf{w}_ j \)。 正交化： \( \mathbf{w} j \leftarrow \mathbf{w} j - \sum {i=1}^j h {i,j} \mathbf{v}_ i \)。 计算 \( h_ {j+1,j} = \|\mathbf{w} j\| \)，若 \( h {j+1,j} = 0 \) 则提前终止。 令 \( \mathbf{v}_ {j+1} = \mathbf{w} j / h {j+1,j} \)。 得到正交矩阵 \( V_ m = [ \mathbf{v} 1, \dots, \mathbf{v} m] \) 和上Hessenberg矩阵 \( H_ m \in \mathbb{R}^{m \times m} \)，满足 \( AV_ m = V_ m H_ m + h {m+1,m} \mathbf{v} {m+1} \mathbf{e}_ m^\top \)，其中 \( \mathbf{e}_ m \) 是第 \( m \) 个单位向量。 构建并求解投影系统 在子空间 \( \mathcal{K}_ m \) 中寻求近似解 \( \mathbf{x}_ m = \mathbf{x}_ 0 + V_ m \mathbf{y}_ m \)，其中 \( \mathbf{y}_ m \in \mathbb{R}^m \)。 根据残差正交性条件（Galerkin条件）\( \mathbf{r}_ m \perp \mathcal{K}_ m \)，导出方程： \[ V_ m^\top (\mathbf{b} - A\mathbf{x}_ m) = 0 \implies V_ m^\top A V_ m \mathbf{y}_ m = V_ m^\top \mathbf{r}_ 0. \] 代入Arnoldi关系 \( V_ m^\top A V_ m = H_ m \) 和 \( V_ m^\top \mathbf{r}_ 0 = \|\mathbf{r}_ 0\| \mathbf{e}_ 1 \)，得到小规模线性方程组： \[ H_ m \mathbf{y}_ m = \|\mathbf{r}_ 0\| \mathbf{e}_ 1. \] 解此方程组得 \( \mathbf{y}_ m \)，进而计算近似解 \( \mathbf{x}_ m = \mathbf{x}_ 0 + V_ m \mathbf{y}_ m \)。 收敛性判断与重启策略 计算残差 \( \mathbf{r}_ m = \mathbf{b} - A\mathbf{x}_ m \)。若 \( \|\mathbf{r}_ m\| \) 满足容差要求，则输出 \( \mathbf{x}_ m \)；否则可采用重启策略：以当前 \( \mathbf{x}_ m \) 作为新的初始猜测，重复上述过程直至收敛。 关键点总结 FOM利用Krylov子空间和Arnoldi过程将大规模问题降维。 Galerkin条件确保残差与子空间正交，导出小规模方程组。 适用于非对称矩阵，但需注意重启以避免存储和计算成本随 \( m \) 增大而显著增加。