自适应高斯-克朗罗德积分法在带峰值函数积分中的误差传播分析

题目描述
考虑计算定积分：

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \]

其中被积函数 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 1]\) 上具有一个或多个尖锐的峰值。这类函数在峰值附近变化剧烈，而在其他区域相对平缓。自适应高斯-克朗罗德积分法通过动态调整子区间划分和积分节点密度，实现对峰值区域的高精度捕捉。本题要求分析该方法在计算带峰值函数积分时，误差如何通过递归过程传播，并探讨控制策略。

解题过程

1. 高斯-克朗罗德求积公式基础
   • 高斯-克朗罗德公式是高斯求积公式的扩展，通过增加节点数（通常为 \(2n+1\) 个节点）来提供误差估计。例如，G7-K15 公式使用 7 个高斯节点和 15 个克朗罗德节点。
   • 公式形式：

\[ I \approx \sum_{i=1}^{m} w_i f(x_i) \]

 其中 $m$ 为总节点数，$w_i$ 为权重，$x_i$ 为节点。

• 误差估计通过比较高斯结果 \(G_n\) 和克朗罗德结果 \(K_{2n+1}\) 的差值实现：

\[ E = |K_{2n+1} - G_n| \]

2. 自适应策略与误差传播机制

   • 自适应过程将区间递归二分，对每个子区间应用高斯-克朗罗德公式。若子区间的误差估计 \(E\) 超过阈值 \(\varepsilon \cdot (b-a) / L\)（其中 \(L\) 为总区间长度，\(\varepsilon\) 为用户指定容差），则继续划分。
   • 误差传播路径：
     • 初始区间 \([-1,1]\) 的误差 \(E_0\) 来源于峰值区域未被充分采样。
     • 当子区间被划分时，误差分解为两部分：峰值子区间的误差 \(E_{\text{peak}}\) 和平缓子区间的误差 \(E_{\text{smooth}}\)。
     • 峰值区域的误差因函数高阶导数大而显著，需更多划分；平缓区域误差小，划分少。
   • 传播模型：
     总误差 \(E_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{N} E_k\)，其中 \(E_k\) 为第 \(k\) 个子区间的误差。若某子区间未达到精度要求，其误差会传播至下一层递归，直至被控制。

3. 峰值函数的误差分析

   • 以单峰函数 \(f(x) = e^{-100(x-0.5)^2}\) 为例，在 \(x=0.5\) 处峰值宽度约 0.1。
   • 初始误差来源：
     • 若全区间直接应用高斯-克朗罗德公式，节点可能错过峰值，导致插值多项式无法拟合剧烈变化，误差主要来自截断余项：

\[ E \propto \frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \quad (\xi \in [-1,1]) \]

 其中高阶导数 $f^{(2n)}(\xi)$ 在峰值处极大。

• 自适应划分后的误差控制：
  • 通过递归划分，峰值区域被隔离为窄子区间。每个子区间内函数更平滑，高阶导数减小，误差显著降低。
  • 例如，在宽度为 \(h\) 的子区间上，误差满足：

\[ E \leq C h^{2n+1} \max |f^{(2n)}| \]

   其中 $C$ 为与公式相关的常数。当 $h$ 足够小时，即使 $\max |f^{(2n)}|$ 较大，误差也可控。

4. 误差传播的优化策略

   • 动态容差分配：根据子区间长度调整容差，例如设子区间容差为 \(\varepsilon \cdot (b-a) / L\)，避免过度划分平缓区域。
   • 峰值检测：通过计算函数二阶导数的近似值，识别变化剧烈的子区间，优先划分。
   • 递归终止条件：当子区间误差 \(E < \varepsilon \cdot (b-a) / L\) 或区间长度小于机器精度时终止。

5. 实例演示
   计算 \(I = \int_{-1}^{1} e^{-100(x-0.5)^2} dx\)，设定 \(\varepsilon = 10^{-6}\)：

   • 步骤1：在全区间 \([-1,1]\) 应用 G7-K15 公式，误差估计 \(E_0 \approx 0.1\)（超过容差），划分区间为 \([-1,0]\) 和 \([0,1]\)。
   • 步骤2：在 \([0,1]\) 检测到峰值，继续划分为 \([0,0.5]\) 和 \([0.5,1]\)。
   • 步骤3：在 \([0.5,1]\) 进一步划分至宽度约 0.01 的子区间，使每个子区间内 \(E < 10^{-6}\)。
   • 结果：总积分值 \(I \approx 0.177245\)，递归深度为 6，总子区间数 15。

总结
自适应高斯-克朗罗德积分法通过递归划分和误差估计，将峰值区域的误差局部化并逐步缩减。误差传播受峰值位置、区间划分策略和容差分配共同影响，最终通过动态调整实现全局精度控制。