非线性规划中的内点反射共轭梯度法进阶题 我将为您讲解非线性规划中的内点反射共轭梯度法。这是一个结合了内点法、反射技术和共轭梯度法的高效优化算法。 问题描述 考虑如下非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题，初始点可选为x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ。 算法原理 内点反射共轭梯度法结合了三种技术的优点： 内点法：通过障碍函数将约束问题转化为无约束问题 反射技术：处理边界约束，保持迭代点在可行域内 共轭梯度法：高效求解无约束子问题 解题步骤 步骤1：构造障碍函数 将约束问题转化为无约束问题： P(x; μ) = f(x) - μ∑ln(-gᵢ(x)) 对于我们的问题： P(x; μ) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² - μ[ ln(-(x₁² - x₂)) + ln(x₁) + ln(x₂) ] 其中μ > 0是障碍参数，随着迭代逐渐减小。 步骤2：计算梯度和Hessian矩阵 障碍函数的梯度： ∇P(x; μ) = ∇f(x) + μ∑[ ∇gᵢ(x)/(-gᵢ(x)) ] 具体计算： ∂P/∂x₁ = 4(x₁ - 2)³ + 2(x₁ - 2x₂) + μ[ 2x₁/(x₁² - x₂) - 1/x₁ ] ∂P/∂x₂ = -4(x₁ - 2x₂) + μ[ 1/(x₁² - x₂) - 1/x₂ ] Hessian矩阵用于共轭梯度法的预处理。 步骤3：反射技术处理边界 当迭代点接近边界时，采用反射技术： 如果xᵢ < ε，则令xᵢ = ε，并调整搜索方向 如果gᵢ(x) > -ε，则沿边界法向反射 反射操作保持点在可行域内部，避免违反约束。 步骤4：共轭梯度法求解子问题 对于固定的μ，用共轭梯度法最小化P(x; μ)： 初始化：x₀ = 当前点，d₀ = -∇P(x₀; μ) 对于k = 0, 1, 2, ...： 计算最优步长αₖ（满足Wolfe条件） 更新：xₖ₊₁ = xₖ + αₖdₖ 应用反射技术保证可行性 计算βₖ₊₁（Polak-Ribière公式） 更新共轭方向：dₖ₊₁ = -∇P(xₖ₊₁; μ) + βₖ₊₁dₖ 直到‖∇P(xₖ; μ)‖ < ε₁ 步骤5：障碍参数更新 μₖ₊₁ = σμₖ，其中0 < σ < 1 通常取σ = 0.1~0.5，保证μ缓慢减小。 步骤6：收敛性检查 检查以下收敛条件： 原始可行性：‖g₊(x)‖ < ε₁ 对偶可行性：‖∇f(x) + A(x)λ‖ < ε₂ 互补松弛条件：|λᵢgᵢ(x)| < ε₃ 障碍参数：μ < ε₄ 其中A(x)是约束Jacobian矩阵，λ是拉格朗日乘子估计。 算法实现细节 初始化 ： x⁰ = [ 0, 1 ]ᵀ, μ₀ = 1.0, σ = 0.2, ε = 10⁻⁶ 迭代过程 ： 对于k = 0, 1, 2, ...： 用共轭梯度法求解min P(x; μₖ) 应用反射技术保持可行性 更新μₖ₊₁ = σμₖ 检查收敛条件 收敛性分析 该算法具有超线性收敛性： 内点法保证全局收敛 共轭梯度法在合理条件下有n步二次收敛 反射技术不影响收敛速度 实际应用考虑 障碍参数初始值选择：根据问题尺度调整 反射阈值ε：通常取10⁻⁶~10⁻⁸ 预处理：用Hessian矩阵的近似改善共轭梯度法性能 线搜索：确保每次迭代目标函数充分下降 这个算法特别适合中等规模的非线性规划问题，在保持可行性的同时具有较快的收敛速度。