切棍子的最小成本问题（进阶版：多维切割）

题目描述

假设你有一根长度为n的棍子，以及一个切割位置数组cuts。每次切割的成本等于当前切割的棍子长度。你的目标是以最低的总成本将棍子按照所有指定位置切割完成。

例如，有一根长度为n=7的棍子，需要在位置[1,3,4,5]进行切割。一种最优的切割顺序是：

1. 先在位置4切割，成本=7
2. 然后在位置3切割（左边段），成本=4
3. 最后在位置1和5切割，成本分别为3和3
   总成本=7+4+3+3=17

解题过程

1. 问题分析
这是一个典型的区间动态规划问题。我们需要找到最优的切割顺序，使得总成本最小。每次切割的成本取决于当前切割时棍子的长度，因此切割顺序的选择会影响总成本。

2. 状态定义
定义dp[i][j]表示在区间(i,j)内进行所有切割所需的最小成本，其中i和j表示区间的端点位置。

为了处理边界情况，我们在原切割位置数组前后添加0和n：

• 排序后的切割位置：sorted_cuts = [0] + sorted(cuts) + [n]
• 设m = len(sorted_cuts)

3. 状态转移方程
对于区间(i,j)，我们考虑在这个区间内的所有可能的第一次切割位置k：
dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j]) + (sorted_cuts[j] - sorted_cuts[i])

其中k遍历区间(i+1, j-1)内的所有切割位置。

4. 初始化

• 当区间内没有切割位置时（即j = i+1），dp[i][j] = 0
• 其他情况初始化为一个较大的数

5. 计算顺序
按照区间长度从小到大进行计算：

• 先计算长度较小的区间
• 再计算长度较大的区间

6. 算法实现细节

def minCost(n, cuts):
    # 在cuts前后添加0和n
    sorted_cuts = [0] + sorted(cuts) + [n]
    m = len(sorted_cuts)
    
    # 初始化dp数组
    dp = [[0] * m for _ in range(m)]
    
    # 按照区间长度从小到大计算
    for length in range(2, m):  # 区间长度
        for i in range(m - length):  # 区间起点
            j = i + length  # 区间终点
            
            # 如果区间内没有切割点，成本为0
            if j == i + 1:
                dp[i][j] = 0
                continue
                
            # 寻找区间(i,j)内的最小成本
            dp[i][j] = float('inf')
            for k in range(i + 1, j):  # 遍历所有可能的切割位置
                current_cost = dp[i][k] + dp[k][j] + (sorted_cuts[j] - sorted_cuts[i])
                dp[i][j] = min(dp[i][j], current_cost)
    
    return dp[0][m-1]

7. 示例验证
以n=7, cuts=[1,3,4,5]为例：

排序后的切割位置：[0,1,3,4,5,7]

区间计算过程：

• dp[0][2]：区间[0,3]，在位置1切割，成本=3
• dp[2][5]：区间[3,7]，在位置4切割，成本=4
• dp[0][5]：总成本=dp[0][2]+dp[2][5]+7=3+4+7=14

最终得到最小成本为14。

8. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(m³)，其中m是切割位置的数量
• 空间复杂度：O(m²)

这个算法通过动态规划系统地考虑了所有可能的切割顺序，确保了找到全局最优解。