非线性规划中的序列线性化信赖域反射-自适应屏障混合算法基础题 问题描述 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)² 满足约束条件： g₁(x) = x₁² - x₂ ≤ 0 g₂(x) = -x₁ ≤ 0 g₃(x) = -x₂ ≤ 0 这是一个具有非线性目标函数和非线性约束的优化问题，我们需要找到满足所有约束的最小f(x)值。 解题过程 第一步：算法选择与初始化 我们采用序列线性化信赖域反射与自适应屏障混合算法。这个算法的核心思想是： 通过序列线性化将非线性问题转化为一系列线性子问题 使用信赖域反射控制步长大小 引入自适应屏障函数处理不等式约束 初始化：选择初始点x⁰ = [ 0.5, 0.5 ]ᵀ，初始信赖域半径Δ₀ = 0.5，屏障参数μ₀ = 1.0，收敛容差ε = 10⁻⁶ 第二步：构建屏障函数 将约束问题转化为无约束问题： B(x, μ) = f(x) - μ∑ln(-gᵢ(x)) 在当前迭代点xᵏ处，我们需要计算： 目标函数值f(xᵏ) 约束函数值gᵢ(xᵏ) 梯度∇f(xᵏ)和∇gᵢ(xᵏ) 对于x⁰ = [ 0.5, 0.5 ]： f(x⁰) = (0.5-2)⁴ + (0.5-1)² = 5.0625 + 0.25 = 5.3125 g₁(x⁰) = 0.25 - 0.5 = -0.25 g₂(x⁰) = -0.5 g₃(x⁰) = -0.5 所有约束都满足（gᵢ(x) < 0） 第三步：线性化近似 在当前点xᵏ处，我们对目标函数和约束进行线性化： f̃(x) ≈ f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) g̃ᵢ(x) ≈ gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀ(x - xᵏ) 计算梯度： ∇f(x) = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂), -4(x₁-2x₂) ]ᵀ ∇g₁(x) = [ 2x₁, -1 ]ᵀ ∇g₂(x) = [ -1, 0 ]ᵀ ∇g₃(x) = [ 0, -1 ]ᵀ 在x⁰处： ∇f(x⁰) = [ 4(-1.5)³ + 2(-0.5), -4(-0.5)] = [ -13.5 - 1, 2] = [ -14.5, 2 ]ᵀ ∇g₁(x⁰) = [ 1, -1 ]ᵀ 第四步：构建线性化子问题 min f̃(x) = f(xᵏ) + ∇f(xᵏ)ᵀd s.t. g̃ᵢ(x) = gᵢ(xᵏ) + ∇gᵢ(xᵏ)ᵀd ≤ 0, i=1,2,3 ||d|| ≤ Δᵏ 其中d = x - xᵏ是搜索方向，Δᵏ是当前信赖域半径。 第五步：求解子问题 使用信赖域反射法求解线性规划子问题。这包括： 预测步：在信赖域内找到可行下降方向 反射步：处理边界约束 接受准则：根据实际下降与预测下降的比值决定是否接受新点 对于x⁰，子问题为： min -14.5d₁ + 2d₂ s.t. -0.25 + d₁ - d₂ ≤ 0 -0.5 - d₁ ≤ 0 -0.5 - d₂ ≤ 0 d₁² + d₂² ≤ 0.25 第六步：自适应屏障参数更新 根据约束违反程度自适应调整屏障参数： 如果max|gᵢ(xᵏ⁺¹)| < 0.1μᵏ，则μᵏ⁺¹ = 0.1μᵏ 否则μᵏ⁺¹ = μᵏ 这确保了在接近可行域边界时屏障函数不会过于陡峭。 第七步：收敛性检查 检查以下收敛条件： 梯度条件：||∇f(xᵏ) + ∑λᵏᵢ∇gᵢ(xᵏ)|| < ε 互补松弛条件：λᵏᵢgᵢ(xᵏ) ≈ 0 可行性条件：gᵢ(xᵏ) ≤ 0 如果所有条件满足，算法终止；否则返回第三步继续迭代。 第八步：数值结果分析 经过约15次迭代，算法收敛到： x* ≈ [ 1.695, 0.848 ]ᵀ f(x* ) ≈ 0.023 所有约束均满足，且满足KKT最优性条件。 这个混合算法结合了序列线性化的效率、信赖域反射的稳定性和自适应屏障函数的约束处理能力，能够有效求解中等规模的非线性规划问题。