基于线性规划的图最小费用循环流问题的势方法求解示例
我将为您讲解基于线性规划的图最小费用循环流问题的势方法求解过程。
问题描述
考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。每条边(i,j)∈E有一个容量u_{ij}（最大流量）和一个单位费用c_{ij}。最小费用循环流问题要求找到一个流x_{ij}，满足：
- 流量平衡约束：对于每个顶点i∈V，流入量等于流出量
- 容量约束：0 ≤ x_{ij} ≤ u_{ij} 对所有边(i,j)∈E
- 目标是最小化总费用：∑{(i,j)∈E} c{ij}x_{ij}
解题过程
第一步：建立线性规划模型
最小费用循环流问题可以表述为线性规划：
最小化：∑{(i,j)∈E} c{ij}x_{ij}
约束条件：
- ∑{j:(i,j)∈E} x{ij} - ∑{j:(j,i)∈E} x{ji} = 0，对所有i∈V（流量平衡）
- 0 ≤ x_{ij} ≤ u_{ij}，对所有(i,j)∈E（容量约束）
第二步：引入势函数和对偶问题
我们为每个顶点i∈V引入一个势变量π_i，称为顶点势。对偶问题为：
最大化：-∑{(i,j)∈E} u{ij}w_{ij}
约束条件：
- π_i - π_j + w_{ij} ≤ c_{ij}，对所有(i,j)∈E
- w_{ij} ≥ 0，对所有(i,j)∈E
其中w_{ij}是对偶松弛变量。
第三步：互补松弛条件
根据互补松弛定理，最优解满足：
- 如果x_{ij} > 0，则π_i - π_j + w_{ij} = c_{ij}
- 如果w_{ij} > 0，则x_{ij} = u_{ij}
- 如果0 < x_{ij} < u_{ij}，则π_i - π_j = c_{ij}
第四步：势方法的核心思想
势方法通过维护一组顶点势π，使得约化费用c_{ij}^π = c_{ij} + π_i - π_j满足：
- 如果c_{ij}^π < 0，则x_{ij} = u_{ij}（边满载）
- 如果c_{ij}^π > 0，则x_{ij} = 0（边空载）
- 如果c_{ij}^π = 0，则0 ≤ x_{ij} ≤ u_{ij}
第五步：算法步骤
- 初始化：设置初始流x=0，初始势π=0
- 计算约化费用：对于每条边(i,j)，计算c_{ij}^π = c_{ij} + π_i - π_j
- 识别违反边：
- 如果c_{ij}^π < 0且x_{ij} < u_{ij}，则边(i,j)是违反边
- 如果c_{ij}^π > 0且x_{ij} > 0，则边(j,i)是违反边
- 构建辅助图：根据当前流和约化费用构建残量图
- 更新势函数：
- 如果存在负环，沿着负环增广流量
- 否则，通过最短路径算法更新势函数
- 终止条件：当没有违反边时，当前流是最优解
第六步：具体示例
考虑一个简单网络：
- 顶点：{1,2,3}
- 边：(1,2)：容量3，费用2；(2,3)：容量4，费用1；(3,1)：容量5，费用-1
初始化：
x_{12}=0, x_{23}=0, x_{31}=0
π_1=0, π_2=0, π_3=0
第一次迭代：
约化费用：c_{12}^π=2, c_{23}^π=1, c_{31}^π=-1
违反边：(3,1)（c_{31}^π=-1<0且x_{31}=0<5）
沿环1→2→3→1增广流量：
最小剩余容量=min(3,4,5)=3
更新流：x_{12}=3, x_{23}=3, x_{31}=3
总费用=3×2+3×1+3×(-1)=6
更新势函数：
从顶点1出发的最短路径距离：
d_1=0, d_2=2, d_3=3
新势：π_1=0, π_2=-2, π_3=-3
第二次迭代：
约化费用：
c_{12}^π=2+0-(-2)=4
c_{23}^π=1+(-2)-(-3)=2
c_{31}^π=-1+(-3)-0=-4
无违反边，算法终止。
最优解：x_{12}=3, x_{23}=3, x_{31}=3，总费用=6
这个方法通过势函数将费用转化为非负，从而可以使用有效的最短路径算法求解，比单纯形法更高效。