高斯-勒让德求积公式的构造与多项式精度分析 我将为您讲解高斯-勒让德求积公式的构造过程及其多项式精度分析。这是一个基础而重要的数值积分方法。 题目描述 考虑定积分： ∫₋₁¹ f(x)dx 我们需要构造一个n点求积公式： ∫₋₁¹ f(x)dx ≈ Σᵢ₌₁ⁿ wᵢf(xᵢ) 其中节点xᵢ和权重wᵢ需要选择，使得该公式对尽可能高次数的多项式精确成立。 解题过程 第一步：理解高斯求积的基本思想 高斯求积的核心思想是：通过精心选择节点位置和权重，使得n点求积公式能够精确积分次数不超过2n-1的多项式。这比等距节点的牛顿-柯特斯公式（n点只能精确积分n-1次多项式）有更高的代数精度。 第二步：勒让德多项式的引入 勒让德多项式Pₙ(x)是区间[ -1,1 ]上关于权函数ρ(x)=1的正交多项式系，满足： ∫₋₁¹ Pₘ(x)Pₙ(x)dx = 0, 当m≠n ∫₋₁¹ [ Pₙ(x) ]²dx = 2/(2n+1) 前几个勒让德多项式为： P₀(x) = 1 P₁(x) = x P₂(x) = (3x²-1)/2 P₃(x) = (5x³-3x)/2 第三步：高斯点的确定 高斯-勒让德求积公式的节点就是n次勒让德多项式Pₙ(x)的n个实根。这些根具有以下重要性质： 都在区间(-1,1)内 关于原点对称分布 都是单根 例如，2点公式的节点是P₂(x)=0的根： (3x²-1)/2=0 ⇒ x=±1/√3 ≈ ±0.57735 第四步：权重的计算 权重wᵢ可以通过拉格朗日插值基函数的积分来计算： wᵢ = ∫₋₁¹ Lᵢ(x)dx 其中Lᵢ(x)是拉格朗日基函数： Lᵢ(x) = Πⱼ≠ᵢ (x-xⱼ)/(xᵢ-xⱼ) 对于2点公式： x₁=-1/√3, x₂=1/√3 w₁ = ∫₋₁¹ (x-1/√3)/(-1/√3-1/√3)dx = 1 w₂ = ∫₋₁¹ (x+1/√3)/(1/√3+1/√3)dx = 1 第五步：多项式精度分析 现在证明n点高斯-勒让德公式能精确积分2n-1次多项式。 设f(x)是次数不超过2n-1的多项式，用Pₙ(x)除f(x)得： f(x) = Q(x)Pₙ(x) + R(x) 其中Q(x)和R(x)都是次数不超过n-1的多项式。 由于Pₙ(x)与所有次数低于n的多项式正交，且Q(x)次数≤n-1： ∫₋₁¹ f(x)dx = ∫₋₁¹ Q(x)Pₙ(x)dx + ∫₋₁¹ R(x)dx = ∫₋₁¹ R(x)dx 在求积公式中，由于Pₙ(xᵢ)=0： Σᵢ₌₁ⁿ wᵢf(xᵢ) = Σᵢ₌₁ⁿ wᵢ[ Q(xᵢ)Pₙ(xᵢ) + R(xᵢ) ] = Σᵢ₌₁ⁿ wᵢR(xᵢ) 由于R(x)是次数≤n-1的多项式，而n点插值型求积公式对次数≤n-1的多项式精确成立： Σᵢ₌₁ⁿ wᵢR(xᵢ) = ∫₋₁¹ R(x)dx 因此： ∫₋₁¹ f(x)dx = Σᵢ₌₁ⁿ wᵢf(xᵢ) 第六步：实例验证 验证2点公式对3次多项式f(x)=x³的精确性： 精确积分：∫₋₁¹ x³dx = [ x⁴/4 ]₋₁¹ = 0 求积公式：w₁f(x₁)+w₂f(x₂) = 1×(-1/3√3) + 1×(1/3√3) = 0 两者相等，验证了2点公式能精确积分3次多项式。 总结 高斯-勒让德求积公式通过选择勒让德多项式的零点作为节点，并计算相应的权重，实现了2n-1次的多项式精度，这是理论上最优的代数精度。这种构造方法保证了求积公式的高精度和数值稳定性。