基于线性规划的图最小环覆盖问题的原始-对偶近似算法求解示例 问题描述 考虑一个带权有向图 \( G = (V, E) \)，其中每条边 \( e \in E \) 有一个非负权重 \( w_ e \)。最小环覆盖问题要求找到一组边不交的有向环，使得每个顶点恰好被一个环覆盖，且所有边的权重之和最小。该问题可建模为整数规划，并通过线性规划松弛结合原始-对偶方法设计近似算法。 解题过程 整数规划建模 定义变量 \( x_ e \in \{0,1\} \) 表示边 \( e \) 是否被选中。目标函数和约束如下： \[ \min \sum_ {e \in E} w_ e x_ e \] \[ \text{s.t. } \sum_ {e \in \delta^+(v)} x_ e = 1 \quad \forall v \in V \] \[ \sum_ {e \in \delta^-(v)} x_ e = 1 \quad \forall v \in V \] 其中 \( \delta^+(v) \) 和 \( \delta^-(v) \) 分别表示顶点 \( v \) 的出边和入边。约束保证每个顶点的出度和入度均为 1。 线性规划松弛 将整数约束松弛为 \( x_ e \geq 0 \)，得到线性规划问题。其对偶问题为： \[ \max \sum_ {v \in V} (\alpha_ v + \beta_ v) \] \[ \text{s.t. } \alpha_ u + \beta_ v \leq w_ {uv} \quad \forall (u,v) \in E \] 其中 \( \alpha_ v, \beta_ v \) 是对偶变量。 原始-对偶算法框架 初始化 ：设原始解 \( x = 0 \)，对偶解 \( \alpha = 0, \beta = 0 \)，未覆盖顶点集合 \( S = V \)。 迭代过程 ： 逐步增加所有 \( v \in S \) 的 \( \alpha_ v \) 和 \( \beta_ v \)，直到存在边 \( e = (u,v) \) 满足 \( \alpha_ u + \beta_ v = w_ e \)。 将此类边加入候选边集合 \( E' \)，检查 \( E' \) 中是否形成环。若形成环且不包含已覆盖顶点，则选择该环的边加入解，并更新 \( S \)。 若所有顶点被覆盖，终止；否则继续增加对偶变量。 算法执行示例 假设有向图包含顶点 \( \{1,2,3\} \) 和边 \( (1,2), (2,3), (3,1) \)，权重均为 1。 初始化：\( S = \{1,2,3\} \)，对偶变量全为 0。 第一次迭代：同时增加 \( \alpha_ 1, \alpha_ 2, \alpha_ 3 \) 和 \( \beta_ 1, \beta_ 2, \beta_ 3 \)。当所有对偶变量增至 0.5 时，所有边满足 \( \alpha_ u + \beta_ v = 1 \)。此时边集 \( E' \) 包含所有边，形成环 \( 1 \to 2 \to 3 \to 1 \)。 选择该环，解为 \( x_ e = 1 \) 对所有边，权重和为 3。所有顶点被覆盖，算法终止。 近似比分析 该算法是 1-近似的，因为最小环覆盖问题在整数约束下等价于分配问题，而线性规划松弛在此情况下具有整数最优解（由全单模性保证）。因此，原始-对偶方法得到最优解。 总结 通过线性规划松弛和原始-对偶方法，可高效求解最小环覆盖问题。该算法在多项式时间内运行，并在特定图结构中保证最优性。