隐语义模型（LFM）的随机梯度下降（SGD）优化过程

字数 2116 2025-11-24 14:14:40

隐语义模型（LFM）的随机梯度下降（SGD）优化过程

题目描述
隐语义模型（LFM）是一种用于推荐系统的协同过滤算法，它通过矩阵分解将用户-物品交互矩阵分解为用户隐因子矩阵和物品隐因子矩阵，从而预测用户对未交互物品的评分。我们将详细讲解如何使用随机梯度下降（SGD）优化LFM的参数，包括目标函数定义、梯度推导、更新规则和具体步骤。

解题过程

问题定义与目标函数
- 设用户集合为 \(U\)，物品集合为 \(I\)，观测到的用户-物品评分矩阵为 \(R \in \mathbb{R}^{|U| \times |I|}\)。
- LFM的目标是找到用户隐因子矩阵 \(P \in \mathbb{R}^{|U| \times k}\) 和物品隐因子矩阵 \(Q \in \mathbb{R}^{|I| \times k}\)，其中 \(k\) 是隐因子维度，满足 \(R \approx P Q^T\)。
- 定义预测评分： \(\hat{r}_{ui} = p_u \cdot q_i^T = \sum_{f=1}^k p_{uf} q_{if}\)，其中 \(p_u\) 是用户 \(u\) 的隐因子向量， \(q_i\) 是物品 \(i\) 的隐因子向量。
- 目标函数为最小化均方误差（MSE）加上L2正则化项：

\[ \min_{P, Q} \sum_{(u, i) \in \mathcal{D}} (r_{ui} - p_u q_i^T)^2 + \lambda (\|p_u\|^2 + \|q_i\|^2) \]

 其中 $ \mathcal{D} $ 是训练数据集（观测到的评分对）， $ \lambda $ 是正则化系数。

梯度计算
- 对每个观测样本 \((u, i, r_{ui})\)，定义误差： \(e_{ui} = r_{ui} - \hat{r}_{ui}\)。
- 计算目标函数关于用户隐因子向量 \(p_u\) 的梯度：

\[ \frac{\partial \text{Loss}}{\partial p_u} = -2 e_{ui} \cdot q_i + 2\lambda p_u \]

计算目标函数关于物品隐因子向量 \(q_i\) 的梯度：

\[ \frac{\partial \text{Loss}}{\partial q_i} = -2 e_{ui} \cdot p_u + 2\lambda q_i \]

梯度推导依据链式法则，对 \(p_{uf}\) 和 \(q_{if}\) 分别求偏导，并合并为向量形式。

随机梯度下降更新规则
- 随机采样一个训练样本 \((u, i, r_{ui})\)。
- 计算预测评分 \(\hat{r}_{ui}\) 和误差 \(e_{ui}\)。
- 更新用户隐因子向量 \(p_u\)（学习率 \(\eta\)）：

\[ p_u \leftarrow p_u + \eta \cdot (e_{ui} \cdot q_i - \lambda p_u) \]

更新物品隐因子向量 \(q_i\)：

\[ q_i \leftarrow q_i + \eta \cdot (e_{ui} \cdot p_u - \lambda q_i) \]

注意：更新时使用梯度负方向（因最小化目标），并合并常数因子。

算法步骤
- 输入：评分矩阵 \(R\)、隐因子维度 \(k\)、学习率 \(\eta\)、正则化系数 \(\lambda\)、迭代次数 \(T\)。
- 初始化：随机初始化 \(P\) 和 \(Q\) 为小值（如均值为0的高斯分布）。
- 循环迭代 \(T\) 次：
  1. 遍历所有观测评分 \((u, i, r_{ui})\)（随机顺序）：
    - 计算误差 \(e_{ui} = r_{ui} - p_u q_i^T\)。
    - 更新 \(p_u \leftarrow p_u + \eta (e_{ui} q_i - \lambda p_u)\)。
    - 更新 \(q_i \leftarrow q_i + \eta (e_{ui} p_u - \lambda q_i)\)。
- 输出：收敛后的 \(P\) 和 \(Q\)，用于预测未观测评分 \(\hat{R} = P Q^T\)。
关键细节说明
- 随机性：SGD通过单样本更新，避免全批量计算的高开销，适合大规模数据。
- 正则化：L2正则化防止过拟合，控制隐因子向量的模长。
- 超参数选择：\(k\) 影响模型表达能力，需通过交叉验证调整；\(\eta\) 和 \(\lambda\) 影响收敛性和泛化能力。
- 收敛判断：可监控训练集损失或验证集误差的变化，提前终止训练。

通过以上步骤，LFM能够从稀疏评分数据中学习用户和物品的潜在特征，实现个性化推荐。

隐语义模型（LFM）的随机梯度下降（SGD）优化过程题目描述隐语义模型（LFM）是一种用于推荐系统的协同过滤算法，它通过矩阵分解将用户-物品交互矩阵分解为用户隐因子矩阵和物品隐因子矩阵，从而预测用户对未交互物品的评分。我们将详细讲解如何使用随机梯度下降（SGD）优化LFM的参数，包括目标函数定义、梯度推导、更新规则和具体步骤。解题过程问题定义与目标函数设用户集合为 \( U \)，物品集合为 \( I \)，观测到的用户-物品评分矩阵为 \( R \in \mathbb{R}^{|U| \times |I|} \)。 LFM的目标是找到用户隐因子矩阵 \( P \in \mathbb{R}^{|U| \times k} \) 和物品隐因子矩阵 \( Q \in \mathbb{R}^{|I| \times k} \)，其中 \( k \) 是隐因子维度，满足 \( R \approx P Q^T \)。定义预测评分： \( \hat{r} {ui} = p_ u \cdot q_ i^T = \sum {f=1}^k p_ {uf} q_ {if} \)，其中 \( p_ u \) 是用户 \( u \) 的隐因子向量， \( q_ i \) 是物品 \( i \) 的隐因子向量。目标函数为最小化均方误差（MSE）加上L2正则化项： \[ \min_ {P, Q} \sum_ {(u, i) \in \mathcal{D}} (r_ {ui} - p_ u q_ i^T)^2 + \lambda (\|p_ u\|^2 + \|q_ i\|^2) \] 其中 \( \mathcal{D} \) 是训练数据集（观测到的评分对）， \( \lambda \) 是正则化系数。梯度计算对每个观测样本 \( (u, i, r_ {ui}) \)，定义误差： \( e_ {ui} = r_ {ui} - \hat{r}_ {ui} \)。计算目标函数关于用户隐因子向量 \( p_ u \) 的梯度： \[ \frac{\partial \text{Loss}}{\partial p_ u} = -2 e_ {ui} \cdot q_ i + 2\lambda p_ u \] 计算目标函数关于物品隐因子向量 \( q_ i \) 的梯度： \[ \frac{\partial \text{Loss}}{\partial q_ i} = -2 e_ {ui} \cdot p_ u + 2\lambda q_ i \] 梯度推导依据链式法则，对 \( p_ {uf} \) 和 \( q_ {if} \) 分别求偏导，并合并为向量形式。随机梯度下降更新规则随机采样一个训练样本 \( (u, i, r_ {ui}) \)。计算预测评分 \( \hat{r} {ui} \) 和误差 \( e {ui} \)。更新用户隐因子向量 \( p_ u \)（学习率 \( \eta \)）： \[ p_ u \leftarrow p_ u + \eta \cdot (e_ {ui} \cdot q_ i - \lambda p_ u) \] 更新物品隐因子向量 \( q_ i \)： \[ q_ i \leftarrow q_ i + \eta \cdot (e_ {ui} \cdot p_ u - \lambda q_ i) \] 注意：更新时使用梯度负方向（因最小化目标），并合并常数因子。算法步骤输入：评分矩阵 \( R \)、隐因子维度 \( k \)、学习率 \( \eta \)、正则化系数 \( \lambda \)、迭代次数 \( T \)。初始化：随机初始化 \( P \) 和 \( Q \) 为小值（如均值为0的高斯分布）。循环迭代 \( T \) 次：遍历所有观测评分 \( (u, i, r_ {ui}) \)（随机顺序）：计算误差 \( e_ {ui} = r_ {ui} - p_ u q_ i^T \)。更新 \( p_ u \leftarrow p_ u + \eta (e_ {ui} q_ i - \lambda p_ u) \)。更新 \( q_ i \leftarrow q_ i + \eta (e_ {ui} p_ u - \lambda q_ i) \)。输出：收敛后的 \( P \) 和 \( Q \)，用于预测未观测评分 \( \hat{R} = P Q^T \)。关键细节说明随机性：SGD通过单样本更新，避免全批量计算的高开销，适合大规模数据。正则化：L2正则化防止过拟合，控制隐因子向量的模长。超参数选择：\( k \) 影响模型表达能力，需通过交叉验证调整；\( \eta \) 和 \( \lambda \) 影响收敛性和泛化能力。收敛判断：可监控训练集损失或验证集误差的变化，提前终止训练。通过以上步骤，LFM能够从稀疏评分数据中学习用户和物品的潜在特征，实现个性化推荐。