区间动态规划例题：切棍子的最小成本问题（进阶版：多维切割） 问题描述 给定一根长度为n的棍子，以及一个切割位置数组cuts[]，其中cuts[ i]表示在第cuts[ i ]位置有一个切割标记。每次切割的成本等于当前被切割棍子的长度。请确定切割所有指定位置的最小总成本。 例如：棍子长度n=7，切割位置cuts=[ 1,3,4,5 ] 初始棍子：[ 0,7 ]，切割位置1,3,4,5 我们需要找到切割所有这些位置的最小总成本。 解题过程 1. 问题分析 这是一个典型的区间DP问题，因为每次切割都会将棍子分成两个更小的区间 关键观察：切割顺序影响总成本，因为成本取决于当前棍子长度 我们需要找到最优的切割顺序来最小化总成本 2. 状态定义 定义dp[ i][ j ]表示切割从位置i到位置j这段棍子的最小成本，其中i和j是切割点的索引。 但是这里有个关键点：我们需要在cuts数组前后添加边界点0和n，然后对cuts数组排序。 3. 状态转移方程 对于区间[ i,j ]，我们枚举所有可能的第一个切割点k： dp[ i][ j] = min(dp[ i][ k] + dp[ k][ j]) + (cuts[ j] - cuts[ i ]) 其中： i < k < j cuts[ j] - cuts[ i ] 是当前区间的长度 dp[ i][ k ] 是切割左半部分的成本 dp[ k][ j ] 是切割右半部分的成本 4. 初始化 当区间内没有切割点时，dp[ i][ j ] = 0 即当j = i+1时，dp[ i][ j ] = 0 5. 计算顺序 我们需要按区间长度从小到大计算： 先计算长度为2的区间 然后计算长度为3的区间 依此类推，直到计算整个区间 6. 详细步骤 以n=7, cuts=[ 1,3,4,5 ]为例： 步骤1：预处理 在cuts数组前后添加边界：sorted_ cuts = [ 0,1,3,4,5,7 ] 现在我们有6个点：0,1,3,4,5,7 步骤2：初始化dp表 dp[ i][ j ]表示从第i个切割点到第j个切割点的最小成本 初始化所有长度为2的区间（相邻点，中间无切割点）： dp[ 0][ 1] = 0 (区间[ 0,1 ]) dp[ 1][ 2] = 0 (区间[ 1,3 ]) dp[ 2][ 3] = 0 (区间[ 3,4 ]) dp[ 3][ 4] = 0 (区间[ 4,5 ]) dp[ 4][ 5] = 0 (区间[ 5,7 ]) 步骤3：计算长度为3的区间 区间[ 0,1,3 ]： 只能在位置1切割 dp[ 0][ 2] = dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 2 ] + (3-0) = 0 + 0 + 3 = 3 区间[ 1,3,4 ]： 只能在位置3切割 dp[ 1][ 3] = dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 3 ] + (4-1) = 0 + 0 + 3 = 3 区间[ 3,4,5 ]： 只能在位置4切割 dp[ 2][ 4] = dp[ 2][ 3] + dp[ 3][ 4 ] + (5-3) = 0 + 0 + 2 = 2 区间[ 4,5,7 ]： 只能在位置5切割 dp[ 3][ 5] = dp[ 3][ 4] + dp[ 4][ 5 ] + (7-4) = 0 + 0 + 3 = 3 步骤4：计算长度为4的区间 区间[ 0,1,3,4 ]： 选择在位置1切割：dp[ 0][ 3] = dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 3 ] + (4-0) = 0 + 3 + 4 = 7 选择在位置3切割：dp[ 0][ 3] = dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 3 ] + (4-0) = 3 + 0 + 4 = 7 最小值：7 区间[ 1,3,4,5 ]： 选择在位置3切割：dp[ 1][ 4] = dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 4 ] + (5-1) = 0 + 2 + 4 = 6 选择在位置4切割：dp[ 1][ 4] = dp[ 1][ 3] + dp[ 3][ 4 ] + (5-1) = 3 + 0 + 4 = 7 最小值：6 区间[ 3,4,5,7 ]： 选择在位置4切割：dp[ 2][ 5] = dp[ 2][ 3] + dp[ 3][ 5 ] + (7-3) = 0 + 3 + 4 = 7 选择在位置5切割：dp[ 2][ 5] = dp[ 2][ 4] + dp[ 4][ 5 ] + (7-3) = 2 + 0 + 4 = 6 最小值：6 步骤5：计算长度为5的区间 区间[ 0,1,3,4,5 ]： 在位置1切割：dp[ 0][ 4] = dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 4 ] + (5-0) = 0 + 6 + 5 = 11 在位置3切割：dp[ 0][ 4] = dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 4 ] + (5-0) = 3 + 2 + 5 = 10 在位置4切割：dp[ 0][ 4] = dp[ 0][ 3] + dp[ 3][ 4 ] + (5-0) = 7 + 0 + 5 = 12 最小值：10 步骤6：计算整个区间 区间[ 0,1,3,4,5,7 ]： 在位置1切割：dp[ 0][ 5] = dp[ 0][ 1] + dp[ 1][ 5 ] + (7-0) = 0 + ? + 7 在位置3切割：dp[ 0][ 5] = dp[ 0][ 2] + dp[ 2][ 5 ] + (7-0) = 3 + 6 + 7 = 16 在位置4切割：dp[ 0][ 5] = dp[ 0][ 3] + dp[ 3][ 5 ] + (7-0) = 7 + 3 + 7 = 17 在位置5切割：dp[ 0][ 5] = dp[ 0][ 4] + dp[ 4][ 5 ] + (7-0) = 10 + 0 + 7 = 17 我们需要先计算dp[ 1][ 5 ]： 区间[ 1,3,4,5,7 ]： 在位置3切割：dp[ 1][ 5] = dp[ 1][ 2] + dp[ 2][ 5 ] + (7-1) = 0 + 6 + 6 = 12 在位置4切割：dp[ 1][ 5] = dp[ 1][ 3] + dp[ 3][ 5 ] + (7-1) = 3 + 3 + 6 = 12 在位置5切割：dp[ 1][ 5] = dp[ 1][ 4] + dp[ 4][ 5 ] + (7-1) = 6 + 0 + 6 = 12 最小值：12 现在计算完整结果： 在位置1切割：dp[ 0][ 5 ] = 0 + 12 + 7 = 19 在位置3切割：dp[ 0][ 5 ] = 3 + 6 + 7 = 16 在位置4切割：dp[ 0][ 5 ] = 7 + 3 + 7 = 17 在位置5切割：dp[ 0][ 5 ] = 10 + 0 + 7 = 17 最小成本为16。 7. 算法总结 时间复杂度：O(m³)，其中m是切割点数量 空间复杂度：O(m²) 关键：按区间长度从小到大计算，确保子问题先被解决 这种方法可以扩展到多维切割问题，通过定义合适的状态和转移方程来处理更复杂的切割场景。