高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的变量替换技巧
题目描述
在核废料衰变热计算中，需要计算如下形式的积分：
\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} f(t) \, dt \]
其中 \(f(t)\) 描述核废料的衰变功率（通常为多个指数函数的叠加），\(\lambda\) 为与材料相关的衰减常数。由于积分区间为无穷且被积函数含指数衰减项，直接使用常规数值积分方法效率较低。本题目要求通过高斯-拉盖尔求积公式结合变量替换技巧，高效计算此类积分。
解题过程
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问题分析与高斯-拉盖尔公式的适配性
- 高斯-拉盖尔求积公式适用于积分形式 \(\int_{0}^{\infty} e^{-t} g(t) \, dt\)，其节点和权重基于拉盖尔多项式的零点。
- 原积分中被积函数为 \(e^{-\lambda t} f(t)\)，与标准形式相比多了一个参数 \(\lambda\)，需通过变量替换将其转化为标准形式。
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变量替换的具体步骤
- 令 \(s = \lambda t\)，则 \(t = s / \lambda\)，\(dt = ds / \lambda\)。
- 代入原积分：
\[ I = \int_{0}^{\infty} e^{-s} f\left( \frac{s}{\lambda} \right) \frac{1}{\lambda} \, ds = \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{\infty} e^{-s} g(s) \, ds \]
其中 $ g(s) = f(s / \lambda) $。
- 此时积分化为标准高斯-拉盖尔形式，可直接应用求积公式。
- 应用高斯-拉盖尔求积公式
- 选择 \(n\) 个节点 \(s_i\)（拉盖尔多项式 \(L_n(s)\) 的零点）及对应权重 \(w_i\)。
- 积分近似为：
\[ I \approx \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot g(s_i) = \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} w_i f\left( \frac{s_i}{\lambda} \right) \]
- 节点 \(s_i\) 和权重 \(w_i\) 需预先计算或查表获得（例如通过数值库如 SciPy）。
- 核废料衰变热计算的实例应用
- 假设 \(f(t) = \sum_{k=1}^{m} A_k e^{-\mu_k t}\)（多指数衰减模型），代入公式：
\[ I \approx \frac{1}{\lambda} \sum_{i=1}^{n} w_i \sum_{k=1}^{m} A_k e^{-\mu_k s_i / \lambda} \]
- 通过调整 \(n\) 可控制精度，通常 \(n = 10 \sim 20\) 即可达到工程要求。
- 误差分析与变量替换的优势
- 变量替换避免了直接处理无穷区间，并将衰减参数 \(\lambda\) 融入权重，提升数值稳定性。
- 高斯-拉盖尔公式对指数衰减函数具有指数级收敛速度，远优于梯形法或龙贝格法。
- 若 \(f(t)\) 振荡剧烈，可结合正则化或分段策略进一步优化。
总结
通过变量替换将原积分转化为高斯-拉盖尔标准形式，显著简化了核废料衰变热积分的计算。该方法兼顾效率与精度，适用于核工程中的实际应用。