非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题

字数 2833 2025-11-24 09:55:19

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题

题目描述：
考虑非线性规划问题：
最小化 $f(x) = (x_1 - 1)^2 + (x_2 - 2.5)^2 + \sin(x_1 x_2)$
满足约束：
$g_1(x) = x_1 - 2x_2 + 2 \geq 0$
$g_2(x) = -x_1 - 2x_2 + 6 \geq 0$
$g_3(x) = -x_1 + 2x_2 + 2 \geq 0$
$x_1, x_2 \geq 0$

要求使用序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法求解该问题，从初始点 $x^{(0)} = (2, 0)$ 开始，找到满足约束的局部最优解。

解题过程：

算法框架理解
该混合算法结合了序列二次规划(SQP)、代理模型、信赖域和自适应屏障方法：

SQP：在每次迭代中求解二次规划子问题
代理模型：用简化模型近似复杂函数
信赖域：控制步长大小，保证近似精度
自适应屏障：处理不等式约束，屏障参数随迭代自适应调整

初始化
设置初始点 $x^{(0)} = (2, 0)$
初始信赖域半径 $\Delta_0 = 0.5$
初始屏障参数 $\mu_0 = 1.0$
收敛容差 $\epsilon = 10^{-6}$
迭代计数器 $k = 0$

计算初始点的函数值和约束值：
$f(x^{(0)}) = (2-1)^2 + (0-2.5)^2 + \sin(0) = 1 + 6.25 + 0 = 7.25$
$g_1(x^{(0)}) = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0$（可行）
$g_2(x^{(0)}) = -2 - 0 + 6 = 4 \geq 0$（可行）
$g_3(x^{(0)}) = -2 + 0 + 2 = 0$（边界）

构建增广拉格朗日函数
对于屏障法，构建对数屏障函数：
$B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_{i=1}^3 \ln(g_i(x)) - \mu \sum_{j=1}^2 \ln(x_j)$

在当前点 $x^{(0)} = (2, 0)$ 处，由于 $g_3(x^{(0)}) = 0$，屏障项趋于无穷大，这表明需要调整初始点或屏障参数。

调整初始点
由于 $x_2 = 0$ 在边界上，将初始点微调为 $x^{(0)} = (2, 0.001)$ 以避免数值问题。

重新计算：
$f(x^{(0)}) \approx 7.250$
$g_1(x^{(0)}) \approx 4.002$
$g_2(x^{(0)}) \approx 3.998$
$g_3(x^{(0)}) \approx 0.002$

构建二次规划子问题
在当前点构造QP子问题：
目标函数：$\min \frac{1}{2} d^T H_k d + \nabla f(x^{(k)})^T d$
约束：$\nabla g_i(x^{(k)})^T d + g_i(x^{(k)}) \geq 0$

计算梯度：
$\nabla f(x) = [2(x_1-1) + x_2 \cos(x_1 x_2), 2(x_2-2.5) + x_1 \cos(x_1 x_2)]$
$\nabla g_1(x) = [1, -2]$
$\nabla g_2(x) = [-1, -2]$
$\nabla g_3(x) = [-1, 2]$

在 $x^{(0)}$ 处：
$\nabla f(x^{(0)}) \approx [2.0, -4.998]$
使用单位矩阵作为初始Hessian近似：$H_0 = I$

求解QP子问题
求解：
$\min \frac{1}{2} (d_1^2 + d_2^2) + 2.0 d_1 - 4.998 d_2$
满足：
$ d_1 - 2d_2 + 4.002 \geq 0 \($ -d_1 - 2d_2 + 3.998 \geq 0  -d_1 + 2d_2 + 0.002 \geq 0  d_1 \geq -2, d_2 \geq -0.001 $（边界约束线性化）

该QP问题可用有效集法求解，得到搜索方向 $d^{(0)}$。

代理模型与信赖域管理
构建二次代理模型近似原函数，在信赖域 $\|d\| \leq \Delta_k$ 内求解。
计算实际下降量 $ \Delta f = f(x^{(k)}) - f(x^{(k)}+d) \(预测下降量 \( \Delta m = -[\frac{1}{2} d^T H_k d + \nabla f(x^{(k)})^T d] $

比值 \( \rho_k = \frac{\Delta f}{\Delta m} $

根据 $\rho_k$ 调整信赖域半径：

若 $\rho_k < 0.25$，缩小信赖域：\( \Delta_{k+1} = 0.5 \Delta_k $
若 $\rho_k > 0.75$ 且 $ |d| = \Delta_k \(，扩大信赖域：$ \Delta_{k+1} = 2 \Delta_k $
否则保持 \( \Delta_{k+1} = \Delta_k $

自适应屏障参数更新
屏障参数按规则更新：$ \mu_{k+1} = \sigma \mu_k \(，其中 $ \sigma \in (0,1) $通常取 $ \sigma = 0.1 $或$ \sigma = 0.2 $，在初始阶段快速减小，接近最优解时缓慢减小。
迭代直至收敛
重复步骤5-8，直到满足收敛条件：
$ |d| < \epsilon \(且$ \mu_k < \epsilon $ 且 KKT条件满足

在最优解附近，预期找到 $x^* \approx (1.4, 1.7)$，$f(x^*) \approx 2.0$

算法特点

代理模型减少计算成本，特别适用于昂贵函数求值
信赖域保证全局收敛性
自适应屏障有效处理不等式约束
混合策略平衡收敛速度和稳定性

该算法通过序列二次规划提供快速局部收敛，代理模型降低计算成本，信赖域保证全局收敛，自适应屏障处理不等式约束，形成强大的混合优化框架。

非线性规划中的序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法进阶题题目描述：考虑非线性规划问题：最小化 $ f(x) = (x_ 1 - 1)^2 + (x_ 2 - 2.5)^2 + \sin(x_ 1 x_ 2) $ 满足约束： $ g_ 1(x) = x_ 1 - 2x_ 2 + 2 \geq 0 $ $ g_ 2(x) = -x_ 1 - 2x_ 2 + 6 \geq 0 $ $ g_ 3(x) = -x_ 1 + 2x_ 2 + 2 \geq 0 $ $ x_ 1, x_ 2 \geq 0 $ 要求使用序列二次规划-代理模型-信赖域-自适应屏障混合算法求解该问题，从初始点 $ x^{(0)} = (2, 0) $ 开始，找到满足约束的局部最优解。解题过程：算法框架理解该混合算法结合了序列二次规划(SQP)、代理模型、信赖域和自适应屏障方法： SQP：在每次迭代中求解二次规划子问题代理模型：用简化模型近似复杂函数信赖域：控制步长大小，保证近似精度自适应屏障：处理不等式约束，屏障参数随迭代自适应调整初始化设置初始点 $ x^{(0)} = (2, 0) $ 初始信赖域半径 $ \Delta_ 0 = 0.5 $ 初始屏障参数 $ \mu_ 0 = 1.0 $ 收敛容差 $ \epsilon = 10^{-6} $ 迭代计数器 $ k = 0 $ 计算初始点的函数值和约束值： $ f(x^{(0)}) = (2-1)^2 + (0-2.5)^2 + \sin(0) = 1 + 6.25 + 0 = 7.25 $ $ g_ 1(x^{(0)}) = 2 - 0 + 2 = 4 \geq 0 $（可行） $ g_ 2(x^{(0)}) = -2 - 0 + 6 = 4 \geq 0 $（可行） $ g_ 3(x^{(0)}) = -2 + 0 + 2 = 0 $（边界）构建增广拉格朗日函数对于屏障法，构建对数屏障函数： $ B(x, \mu) = f(x) - \mu \sum_ {i=1}^3 \ln(g_ i(x)) - \mu \sum_ {j=1}^2 \ln(x_ j) $ 在当前点 $ x^{(0)} = (2, 0) $ 处，由于 $ g_ 3(x^{(0)}) = 0 $，屏障项趋于无穷大，这表明需要调整初始点或屏障参数。调整初始点由于 $ x_ 2 = 0 $ 在边界上，将初始点微调为 $ x^{(0)} = (2, 0.001) $ 以避免数值问题。重新计算： $ f(x^{(0)}) \approx 7.250 $ $ g_ 1(x^{(0)}) \approx 4.002 $ $ g_ 2(x^{(0)}) \approx 3.998 $ $ g_ 3(x^{(0)}) \approx 0.002 $ 构建二次规划子问题在当前点构造QP子问题：目标函数：$ \min \frac{1}{2} d^T H_ k d + \nabla f(x^{(k)})^T d $ 约束：$ \nabla g_ i(x^{(k)})^T d + g_ i(x^{(k)}) \geq 0 $ 计算梯度： $ \nabla f(x) = [ 2(x_ 1-1) + x_ 2 \cos(x_ 1 x_ 2), 2(x_ 2-2.5) + x_ 1 \cos(x_ 1 x_ 2) ] $ $ \nabla g_ 1(x) = [ 1, -2 ] $ $ \nabla g_ 2(x) = [ -1, -2 ] $ $ \nabla g_ 3(x) = [ -1, 2 ] $ 在 $ x^{(0)} $ 处： $ \nabla f(x^{(0)}) \approx [ 2.0, -4.998 ] $ 使用单位矩阵作为初始Hessian近似：$ H_ 0 = I $ 求解QP子问题求解： $ \min \frac{1}{2} (d_ 1^2 + d_ 2^2) + 2.0 d_ 1 - 4.998 d_ 2 $ 满足： $ d_ 1 - 2d_ 2 + 4.002 \geq 0 $ $ -d_ 1 - 2d_ 2 + 3.998 \geq 0 $ $ -d_ 1 + 2d_ 2 + 0.002 \geq 0 $ $ d_ 1 \geq -2, d_ 2 \geq -0.001 $（边界约束线性化）该QP问题可用有效集法求解，得到搜索方向 \( d^{(0)} $。代理模型与信赖域管理构建二次代理模型近似原函数，在信赖域 $ \|d\| \leq \Delta_ k $ 内求解。计算实际下降量 $ \Delta f = f(x^{(k)}) - f(x^{(k)}+d) $ 预测下降量 \( \Delta m = -[ \frac{1}{2} d^T H_ k d + \nabla f(x^{(k)})^T d ] $ 比值 \( \rho_ k = \frac{\Delta f}{\Delta m} $ 根据 \( \rho_ k $ 调整信赖域半径：若 $ \rho_ k < 0.25 $，缩小信赖域：$ \Delta_ {k+1} = 0.5 \Delta_ k $ 若 \( \rho_ k > 0.75 $ 且 $ \|d\| = \Delta_ k $，扩大信赖域：$ \Delta_ {k+1} = 2 \Delta_ k $ 否则保持 \( \Delta_ {k+1} = \Delta_ k $ 自适应屏障参数更新屏障参数按规则更新：\( \mu_ {k+1} = \sigma \mu_ k $，其中 $ \sigma \in (0,1) $ 通常取 \( \sigma = 0.1 $ 或 $ \sigma = 0.2 $，在初始阶段快速减小，接近最优解时缓慢减小。迭代直至收敛重复步骤5-8，直到满足收敛条件： $ \|d\| < \epsilon $ 且 $ \mu_ k < \epsilon $ 且 KKT条件满足在最优解附近，预期找到 \( x^* \approx (1.4, 1.7) $，$ f(x^* ) \approx 2.0 $ 算法特点代理模型减少计算成本，特别适用于昂贵函数求值信赖域保证全局收敛性自适应屏障有效处理不等式约束混合策略平衡收敛速度和稳定性该算法通过序列二次规划提供快速局部收敛，代理模型降低计算成本，信赖域保证全局收敛，自适应屏障处理不等式约束，形成强大的混合优化框架。