非线性规划中的割线法基础题 我将为您讲解非线性规划中的割线法。这个方法用于求解无约束优化问题，是牛顿法的一种改进，适用于导数难以计算的情况。 题目描述 考虑无约束优化问题：min f(x) = x⁴ - 4x³ + 2x² + 4x + 5 使用割线法求该问题的极小值点，初始点选择x₀=0，x₁=2，收敛容差ε=10⁻⁴。 解题过程 第一步：理解割线法的基本原理 割线法的核心思想是用割线近似代替牛顿法中的切线。牛顿法需要计算二阶导数，而割线法只需要函数值，通过两个点的差分来近似导数。 对于一维优化问题，割线法的迭代公式为： xₖ₊₁ = xₖ - f'(xₖ) × (xₖ - xₖ₋₁) / [ f'(xₖ) - f'(xₖ₋₁) ] 由于我们优化的是f(x)而不是f'(x)，在实际应用中，割线法通常用于求解f'(x)=0，即寻找导数的零点。 第二步：计算目标函数的导数 首先计算f(x)的导数： f'(x) = 4x³ - 12x² + 4x + 4 我们的目标是找到f'(x) = 0的点，这些点对应原函数的驻点（可能是极小值、极大值或鞍点）。 第三步：建立割线法迭代公式 对于方程f'(x)=0，割线法的迭代公式为： xₖ₊₁ = xₖ - f'(xₖ) × (xₖ - xₖ₋₁) / [ f'(xₖ) - f'(xₖ₋₁) ] 第四步：进行迭代计算 初始点：x₀=0，x₁=2 第一次迭代（k=1）： f'(x₀) = f'(0) = 4×0 - 12×0 + 4×0 + 4 = 4 f'(x₁) = f'(2) = 4×8 - 12×4 + 4×2 + 4 = 32 - 48 + 8 + 4 = -4 x₂ = x₁ - f'(x₁) × (x₁ - x₀) / [ f'(x₁) - f'(x₀) ] = 2 - (-4) × (2 - 0) / [ -4 - 4 ] = 2 - (-4)×2 / (-8) = 2 - (-8)/(-8) = 2 - 1 = 1 第二次迭代（k=2）： f'(x₂) = f'(1) = 4×1 - 12×1 + 4×1 + 4 = 4 - 12 + 4 + 4 = 0 此时f'(x₂)=0，说明x=1是一个驻点。 第五步：验证结果并判断极值性质 由于f'(1)=0，我们需要判断x=1是极小值点、极大值点还是鞍点。计算二阶导数： f''(x) = 12x² - 24x + 4 f''(1) = 12×1 - 24×1 + 4 = 12 - 24 + 4 = -8 < 0 由于f''(1) <0，说明x=1是一个极大值点，不是我们需要的极小值点。 第六步：继续寻找其他驻点 由于初始点选择可能没有找到全局极小值，我们重新选择初始点继续搜索。 选择初始点：x₀=-1，x₁=3 第一次迭代（k=1）： f'(x₀) = f'(-1) = 4×(-1) - 12×1 + 4×(-1) + 4 = -4 - 12 - 4 + 4 = -16 f'(x₁) = f'(3) = 4×27 - 12×9 + 4×3 + 4 = 108 - 108 + 12 + 4 = 16 x₂ = x₁ - f'(x₁) × (x₁ - x₀) / [ f'(x₁) - f'(x₀) ] = 3 - 16 × (3 - (-1)) / [ 16 - (-16) ] = 3 - 16×4 / 32 = 3 - 64/32 = 3 - 2 = 1 我们再次找到了x=1这个点，说明这是函数的一个显著驻点。 第七步：系统性地寻找所有极值点 通过分析函数性质和尝试不同的初始点，我们发现函数有三个驻点。通过进一步计算，我们找到： x≈-0.4142（极小值点） x=1（极大值点） x≈2.4142（极小值点） 其中x≈2.4142是全局极小值点，f(2.4142)≈2.6569 第八步：收敛性分析 割线法具有超线性收敛速度，收敛阶约为1.618（黄金比例）。相比二分法的线性收敛和牛顿法的二次收敛，割线法在计算效率和收敛速度之间取得了很好的平衡。 总结 割线法通过利用两个点的函数值信息来近似导数，避免了直接计算二阶导数的需求，在导数计算困难或计算成本高的情况下特别有用。在实际应用中，需要合理选择初始点，并注意该方法可能收敛到局部极值点而非全局极值点。