Householder变换在矩阵三对角化中的应用 我将为您讲解Householder变换如何将对称矩阵转化为三对角矩阵，这是许多特征值算法的重要预处理步骤。 题目描述： 给定一个n×n实对称矩阵A，我们需要找到一个正交相似变换将其化为三对角矩阵T，即T = QᵀAQ，其中Q是正交矩阵，T是三对角矩阵（只有主对角线及其上下一条对角线非零）。 解题过程： 基本思路 Householder变换的核心思想是通过一系列反射变换，逐步将矩阵A化为三对角形式。每个Householder变换都会将某一列和某一行中特定位置的元素化为零，同时保持矩阵的对称性。 Householder反射器定义 对于任意非零向量v ∈ Rⁿ，Householder反射器定义为： P = I - 2(uuᵀ)/(uᵀu) 其中u是反射面的法向量。这个变换是关于超平面的反射，具有以下性质： P是对称的：P = Pᵀ P是正交的：PᵀP = I P是反射：P² = I 三对角化过程步骤 假设我们已经处理到第k步（k从1到n-2）： 步骤1：构造第k个Householder变换 考虑A的第k列的下半部分：x = [ a_ {k+1,k}, a_ {k+2,k}, ..., a_ {n,k} ]ᵀ 计算反射向量u = x ± ||x||₂e₁，其中e₁ = [ 1,0,...,0 ]ᵀ 符号选择：通常取u = x + sign(x₁)||x||₂e₁以避免数值不稳定 步骤2：计算Householder矩阵 P_ k = I - 2(uuᵀ)/(uᵀu) 为了计算效率，我们通常不显式构造P_ k，而是直接计算其作用。 步骤3：应用相似变换 A ← P_ k A P_ k 由于对称性，这等价于： A ← P_ k A P_ kᵀ 具体计算过程： 首先计算p = A u 然后计算K = uᵀp 最后更新：A ← A - upᵀ - puᵀ + 2K(uuᵀ)/(uᵀu) 算法细节 对于k = 1到n-2： a) 令x = A[ k+1:n, k ] b) 计算σ = sign(x₁)||x||₂ c) 令u₁ = x₁ + σ d) 构造u = [ u₁, x₂, x₃, ..., x_ {n-k} ]ᵀ e) 计算β = σu₁ f) 计算p = (1/β)A[ k+1:n, k+1:n ]u g) 计算w = p - (1/(2β))(uᵀp)u h) 更新A[ k+1:n, k+1:n] = A[ k+1:n, k+1:n ] - uwᵀ - wuᵀ 累积正交矩阵Q（如果需要） 如果需要显式的正交矩阵Q，可以同时累积变换： Q = I 对于k = 1到n-2： Q[ k+1:n, :] = Q[ k+1:n, :] - (2/(uᵀu))u(uᵀQ[ k+1:n, : ]) 数值稳定性 选择合适的符号以避免相消 使用稳定的范数计算 避免显式矩阵乘法，使用向量运算 这个算法总共需要大约(4/3)n³次浮点运算，比直接QR分解更高效，并且保持了数值稳定性。得到的二对角矩阵为特征值计算提供了更好的数值性质。