基于线性规划的图最小费用流问题的对偶方法求解示例 我将为您讲解如何使用对偶方法求解图的最小费用流问题。这个问题在物流运输、通信网络等领域有广泛应用。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边(i,j)∈E有容量u_ ij和单位流量费用c_ ij 每个顶点i有供需量b_ i（b_ i>0表示供应，b_ i<0表示需求，∑b_ i=0） 目标：在满足容量约束和流量平衡的条件下，找到总费用最小的流。 数学模型 原始问题： min ∑(c_ ij × x_ ij) 对所有边(i,j) 约束： ∑(x_ ji) - ∑(x_ ij) = b_ i 对所有顶点i（流量平衡） 0 ≤ x_ ij ≤ u_ ij 对所有边(i,j)（容量约束） 解题过程 第一步：构造对偶问题 对原始问题的每个约束引入对偶变量： 对流量平衡约束引入变量π_ i（无符号限制） 对容量约束引入变量α_ ij ≥ 0 对偶问题： max ∑(b_ i × π_ i) - ∑(u_ ij × α_ ij) 约束： π_ i - π_ j - α_ ij ≤ c_ ij 对所有边(i,j) α_ ij ≥ 0 对所有边(i,j) 第三步：简化对偶问题 通过变量替换，我们可以简化对偶问题。令w_ ij = α_ ij + c_ ij - (π_ i - π_ j)，则： max ∑(b_ i × π_ i) - ∑(u_ ij × max{0, π_ i - π_ j - c_ ij}) 约束：无（π_ i无限制） 第四步：对偶问题的经济学解释 π_ i可解释为顶点i的势或价格 对偶目标函数表示净收益：供应点收益减去需求点成本，再减去容量使用成本 条件π_ i - π_ j ≤ c_ ij表示在最优解中，如果流量未达上限，则势的差不超过运输成本 第五步：互补松弛条件 最优解满足： 如果x_ ij > 0，则π_ i - π_ j = c_ ij + α_ ij 如果x_ ij < u_ ij，则α_ ij = 0 如果0 < x_ ij < u_ ij，则π_ i - π_ j = c_ ij 第六步：对偶方法求解步骤 初始化 ：从任意可行流开始（如零流），设置初始势π_ i=0 计算约化费用 ：对于每条边(i,j)，计算c̃_ ij = c_ ij - (π_ i - π_ j) 最优性检验 ：如果对所有边满足： 如果c̃_ ij > 0，则x_ ij = 0 如果c̃_ ij < 0，则x_ ij = u_ ij 如果c̃_ ij = 0，则0 ≤ x_ ij ≤ u_ ij 则当前解最优 更新势和流 ：如果最优性条件不满足，选择违反的边，沿该边调整流量，并更新相应顶点的势 迭代 ：重复步骤2-4直到满足最优性条件 第七步：具体算例 考虑简单网络：顶点{1,2,3}，边： (1,2)：容量5，费用2 (2,3)：容量5，费用3 (1,3)：容量10，费用6 供需：b₁=5, b₂=0, b₃=-5 迭代过程 ： 初始：零流，π=[ 0,0,0 ] 约化费用：c̃₁₂=2, c̃₂₃=3, c̃₁₃=6 选择c̃最小的负费用路径1→2→3，发送5单位流量 更新流：x₁₂=5, x₂₃=5, x₁₃=0 更新势：π₁=0, π₂=-2, π₃=-5 重新计算约化费用：c̃₁₂=0, c̃₂₃=0, c̃₁₃=1 满足最优性条件，找到最优解 第八步：结果分析 最优流：x₁₂=5, x₂₃=5, x₁₃=0 总费用：5×2 + 5×3 = 25 对偶变量：π=[ 0,-2,-5 ]提供了每个顶点的影子价格 这种方法通过利用对偶理论，将最小费用流问题转化为势函数的优化问题，在理论和计算上都具有重要意义。