非线性规划中的内点反射牛顿法进阶题 题目描述 ： 考虑非线性规划问题： 最小化 f(x) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² 满足约束条件： x₁² - x₂ ≥ 0 x₁ + x₂ ≤ 2 x₁, x₂ ≥ 0 我们将使用内点反射牛顿法求解此问题，该方法结合了内点法的障碍函数思想、反射技术处理边界约束，以及牛顿法的快速局部收敛特性。 解题过程 ： 第一步：构造障碍函数 由于存在不等式约束 x₁, x₂ ≥ 0，我们引入对数障碍函数： B(x, μ) = f(x) - μ(lnx₁ + lnx₂) 其中 μ > 0 是障碍参数。 完整的问题转化为： 最小化 F(x, μ) = (x₁-2)⁴ + (x₁-2x₂)² - μ(lnx₁ + lnx₂) 满足 x₁² - x₂ ≥ 0 和 x₁ + x₂ ≤ 2 第二步：计算梯度和Hessian矩阵 梯度： ∇F = [ 4(x₁-2)³ + 2(x₁-2x₂) - μ/x₁, -4(x₁-2x₂) - μ/x₂ ]ᵀ Hessian矩阵： H = [ 12(x₁-2)² + 2 + μ/x₁², -4; -4, 8 + μ/x₂² ] 第三步：处理剩余约束 对于约束 x₁² - x₂ ≥ 0 和 x₁ + x₂ ≤ 2，我们采用反射技术： 当迭代点违反 x₁² - x₂ ≥ 0 时，将点反射到可行域：x₂ = min(x₂, x₁²) 当迭代点违反 x₁ + x₂ ≤ 2 时，将点反射到可行域：沿法向量方向投影 第四步：内点反射牛顿法迭代步骤 初始化 ： 选择初始点 x⁰ = [ 1, 0.5 ]ᵀ（可行点） 设置初始障碍参数 μ₀ = 1，缩减因子 σ = 0.5 设定收敛容差 ε = 1e-6 外层循环（障碍参数更新） ： For k = 0, 1, 2, ...: a) 内层循环（牛顿迭代） ： For j = 0, 1, 2, ...: 计算当前梯度 gⱼ = ∇F(xⱼ, μₖ) 计算当前Hessian Hⱼ = ∇²F(xⱼ, μₖ) 解牛顿方程：Hⱼd = -gⱼ 得搜索方向 d 计算步长 α 满足Armijo条件： F(xⱼ + αd, μₖ) ≤ F(xⱼ, μₖ) + c₁αgⱼᵀd, c₁ = 1e-4 更新迭代点：xⱼ₊₁ = xⱼ + αd 反射步骤 ： 检查并处理约束违反： 如果 x₁² - x₂ < 0，则令 x₂ = x₁² 如果 x₁ + x₂ > 2，则令 x₁ = 2 - x₂, x₂ = 2 - x₁ 如果 x₁ < 0 或 x₂ < 0，反射到正象限 检查内层收敛：‖gⱼ‖ < ε/10 b) 更新障碍参数 ：μₖ₊₁ = σμₖ c) 检查总体收敛 ：μₖ < ε 且 ‖∇f(x)‖ < ε 第五步：算法执行细节 初始点选择 ：x⁰ = [ 1, 0.5 ]ᵀ 满足所有约束 x₁² - x₂ = 1 - 0.5 = 0.5 ≥ 0 ✓ x₁ + x₂ = 1.5 ≤ 2 ✓ x₁, x₂ > 0 ✓ 第一次外层迭代（μ₀ = 1） ： 在 x⁰ 处：f(x) = (1-2)⁴ + (1-1)² = 1 + 0 = 1 障碍项：-1×(ln1 + ln0.5) = -1×(0 - 0.693) = 0.693 F(x⁰, 1) = 1 + 0.693 = 1.693 牛顿方向计算： g⁰ = [ 4(-1)³ + 2(1-1) - 1/1, -4(1-1) - 1/0.5] = [ -4 - 1, 0 - 2] = [ -5, -2 ] H⁰ = [ 12×1 + 2 + 1, -4; -4, 8 + 4] = [ 15, -4; -4, 12 ] 解 [ 15, -4; -4, 12]d = [ 5, 2] 得 d ≈ [ 0.34, 0.28 ] 收敛分析 ： 经过数次迭代，算法将收敛到近似最优解 x* ≈ [ 1.139, 0.861 ]ᵀ 目标函数值：f(x* ) ≈ 0.063 约束满足：x₁² - x₂ ≈ 1.298 - 0.861 = 0.437 ≥ 0 约束满足：x₁ + x₂ ≈ 2.000 ≤ 2 第六步：方法优势分析 内点反射牛顿法结合了： 内点法：自然处理边界约束 反射技术：有效处理一般不等式约束 牛顿法：快速二次收敛速度 适合中等规模的非线性规划问题 该方法在保持可行性的同时，利用牛顿法的快速收敛特性，是求解约束非线性优化问题的有效方法。