合并字符串形成回文串的最小成本问题

让我为您讲解一个有趣的区间动态规划问题：给定两个字符串，通过合并操作将它们组合成一个回文串，求最小合并成本。

问题描述

给定两个字符串s1和s2，长度分别为m和n。我们可以执行以下两种操作：

1. 从s1的开头取出一个字符，成本为a
2. 从s2的开头取出一个字符，成本为b

目标是通过交替从两个字符串中取字符，形成一个回文串，并使得总成本最小。

解题思路

步骤1：定义状态

我们定义dp[i][j]表示：

• 从s1的前i个字符（即s1[0...i-1]）
• 和s2的前j个字符（即s2[0...j-1]）
• 合并后能形成回文串的最小成本

步骤2：状态转移方程

考虑以下几种情况：

情况1：两个字符串都为空

dp[0][0] = 0

情况2：只有s1有字符，s2为空
此时只能从s1取字符，但要形成回文串，必须满足：

• 如果i=1：单个字符本身就是回文，成本为a
• 如果i>1：需要检查s1[i-1]是否与之前取的字符匹配

情况3：只有s2有字符，s1为空
类似情况2

情况4：两个字符串都有字符
此时有三种选择：

1. 从s1取字符：成本增加a，然后递归处理剩下的部分
2. 从s2取字符：成本增加b，然后递归处理剩下的部分
3. 如果s1和s2的当前首字符相同，可以同时取两个字符

步骤3：具体状态转移

对于dp[i][j]，我们考虑最后形成的回文串的两端：

1. 从s1取字符放在左端，从s1取字符放在右端
   只有当s1[i-1] == s1[k]（某个k < i-1）时可能，但这种情况比较复杂

2. 从s1取字符放在左端，从s2取字符放在右端
   如果s1[i-1] == s2[l]（某个l < j），则：
   dp[i][j] = min(dp[i][j], a + b + dp[i-1][l])

3. 从s2取字符放在左端，从s1取字符放在右端
   如果s2[j-1] == s1[k]（某个k < i），则：
   dp[i][j] = min(dp[i][j], b + a + dp[k][j-1])

4. 从s2取字符放在左端，从s2取字符放在右端
   如果s2[j-1] == s2[l]（某个l < j-1），则：
   dp[i][j] = min(dp[i][j], b + b + dp[i][l])

步骤4：简化方法

实际上，我们可以采用更直观的方法：
定义dp[i][j][x][y]表示：

• 从s1的i到j子串
• 和s2的x到y子串
• 合并成回文串的最小成本

但这样是四维DP，复杂度太高。我们可以优化为：

定义dp[i][j]表示：

• 已经使用了s1的前i个字符和s2的前j个字符
• 还需要匹配的回文串部分

但更实用的方法是：从外向内构建回文串

步骤5：最终解决方案

我们定义f(i, j, k, l)表示：

• 处理s1[i...j]和s2[k...l]区间
• 形成回文串的最小成本

状态转移：

1. 如果i > j且k > l：返回0（空串是回文）
2. 如果i > j：只能从s2取字符，检查s2[k]和s2[l]是否相等
3. 如果k > l：只能从s1取字符，检查s1[i]和s1[j]是否相等
4. 否则，考虑四种配对方式

步骤6：实现示例

def min_cost_to_form_palindrome(s1, s2, cost1, cost2):
    m, n = len(s1), len(s2)
    
    # dp[i][j][k][l] 表示 s1[i...j] 和 s2[k...l] 形成回文的最小成本
    # 但四维DP太慢，我们优化为从两端向中间
    
    memo = {}
    
    def dfs(i, j, k, l):
        if i > j and k > l:
            return 0
        if (i, j, k, l) in memo:
            return memo[(i, j, k, l)]
        
        res = float('inf')
        
        # 情况1: 从s1两端取字符
        if i <= j:
            if s1[i] == s1[j]:
                if i == j:
                    res = min(res, cost1 + dfs(i+1, j-1, k, l))
                else:
                    res = min(res, 2*cost1 + dfs(i+1, j-1, k, l))
            else:
                # 从s1取左边，从其他地方取右边匹配s1[i]
                # 这里需要遍历所有可能性...
                pass
        
        # 情况2: 从s2两端取字符
        if k <= l:
            if s2[k] == s2[l]:
                if k == l:
                    res = min(res, cost2 + dfs(i, j, k+1, l-1))
                else:
                    res = min(res, 2*cost2 + dfs(i, j, k+1, l-1))
        
        # 情况3: 从s1取左边，从s2取右边
        if i <= j and k <= l:
            if s1[i] == s2[l]:
                res = min(res, cost1 + cost2 + dfs(i+1, j, k, l-1))
        
        # 情况4: 从s2取左边，从s1取右边
        if k <= l and i <= j:
            if s2[k] == s1[j]:
                res = min(res, cost2 + cost1 + dfs(i, j-1, k+1, l))
        
        memo[(i, j, k, l)] = res if res != float('inf') else float('inf')
        return memo[(i, j, k, l)]
    
    result = dfs(0, m-1, 0, n-1)
    return result if result != float('inf') else -1

步骤7：复杂度分析

• 时间复杂度：O(m²n²)，其中m和n分别是两个字符串的长度
• 空间复杂度：O(m²n²)用于存储记忆化搜索的结果

这个问题的关键在于理解回文串的对称性，以及如何通过从外向内构建的方式来逐步匹配字符。通过考虑所有可能的字符配对方式，我们可以找到形成回文串的最小成本方案。