最长和谐子序列的变种：最多允许k次不和谐的元素

题目描述

给定一个整数数组nums和一个整数k，我们需要找到最长的和谐子序列的长度。和谐子序列定义为：序列中最大值和最小值的差恰好为1。但是在这个变种问题中，我们允许最多k个元素不满足这个条件（即这些元素的值与序列中其他元素的差值可以大于1）。

例如：

• nums = [1,3,2,2,5,2,3,7], k = 1
• 输出：5
• 解释：最长和谐子序列可以是[3,2,2,2,3]，其中最大值3和最小值2的差为1，且只有一个元素5不满足条件（k=1）

解题过程

步骤1：理解问题核心

和谐子序列要求序列中最大值和最小值的差正好为1。在变种问题中，我们允许最多k个"异常值"（这些元素的值不在[min, min+1]范围内）。

关键观察：

1. 和谐序列实际上只包含两种数值：x和x+1
2. 异常值可以是任何其他数值
3. 我们需要找到一对相邻数值(x, x+1)，使得包含这对数值的所有元素数量加上最多k个异常值能达到最大长度

步骤2：排序简化问题

由于我们关心的是数值本身而非原始顺序，可以先将数组排序：

sorted_nums = sorted(nums)

排序后，相同数值的元素会聚集在一起，便于我们统计频率和滑动窗口处理。

步骤3：频率统计

统计每个数值出现的频率：

# 例如 nums = [1,3,2,2,5,2,3,7], k = 1
# 频率统计：
# 1: 1次, 2: 3次, 3: 2次, 5: 1次, 7: 1次

步骤4：滑动窗口方法

我们使用滑动窗口来找到最优的数值对(x, x+1)：

1. 定义左指针left和右指针right
2. 维护当前窗口中的数值集合
3. 计算窗口内满足条件的元素数量

具体算法：

def findLHS(nums, k):
    nums.sort()
    left = 0
    max_length = 0
    counter = {}
    
    for right in range(len(nums)):
        # 更新当前数值的频率
        counter[nums[right]] = counter.get(nums[right], 0) + 1
        
        # 检查当前窗口是否有效
        while max(counter.keys()) - min(counter.keys()) > 1:
            # 窗口无效，移动左指针
            counter[nums[left]] -= 1
            if counter[nums[left]] == 0:
                del counter[nums[left]]
            left += 1
        
        # 计算当前窗口的有效长度
        current_length = right - left + 1
        max_length = max(max_length, current_length)
    
    return min(max_length, len(nums))  # 确保不超过数组长度

但上面的代码没有正确处理k个异常值的情况，我们需要改进。

步骤5：处理异常值的改进算法

更精确的算法：

def findLHSWithKExceptions(nums, k):
    nums.sort()
    left = 0
    max_length = 0
    exception_count = 0
    
    for right in range(len(nums)):
        # 如果当前元素与窗口最小值差值大于1，增加异常计数
        if nums[right] - nums[left] > 1:
            exception_count += 1
        
        # 当异常值超过k时，移动左指针
        while exception_count > k:
            if nums[left + 1] - nums[left] > 0:  # 如果左边界是较小值
                exception_count -= 1
            left += 1
        
        # 更新最大长度
        max_length = max(max_length, right - left + 1)
    
    return max_length

步骤6：最终优化解法

更高效的解法是分别考虑每对相邻数值(x, x+1)：

def findLHSWithKExceptions(nums, k):
    from collections import Counter
    
    count = Counter(nums)
    unique_nums = sorted(count.keys())
    max_length = 0
    
    for i in range(len(unique_nums) - 1):
        if unique_nums[i + 1] - unique_nums[i] == 1:
            # 这对相邻数值可以形成和谐子序列的基础
            base_length = count[unique_nums[i]] + count[unique_nums[i + 1]]
            
            # 计算可以添加的异常值数量
            remaining_k = k
            current_length = base_length
            
            # 尝试向两边扩展，添加异常值
            # 向左扩展（小于min的值）
            j = i - 1
            while j >= 0 and remaining_k > 0:
                can_add = min(remaining_k, count[unique_nums[j]])
                current_length += can_add
                remaining_k -= can_add
                j -= 1
            
            # 向右扩展（大于max的值）
            j = i + 2
            remaining_k = k - (base_length - current_length)  # 重置剩余k值
            while j < len(unique_nums) and remaining_k > 0:
                can_add = min(remaining_k, count[unique_nums[j]])
                current_length += can_add
                remaining_k -= can_add
                j += 1
            
            max_length = max(max_length, current_length)
    
    return max_length

步骤7：动态规划思路（备选）

我们也可以用动态规划来解决：

def findLHSWithKExceptions_DP(nums, k):
    nums.sort()
    n = len(nums)
    
    # dp[i][j] 表示以nums[i]结尾，使用j个异常值的最长和谐子序列长度
    dp = [[1] * (k + 1) for _ in range(n)]
    max_len = 1
    
    for i in range(1, n):
        for j in range(k + 1):
            for prev in range(i):
                diff = nums[i] - nums[prev]
                exceptions_used = 0 if diff <= 1 else 1
                
                if j >= exceptions_used:
                    if diff <= 1 or exceptions_used == 1:
                        dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[prev][j - exceptions_used] + 1)
            
            max_len = max(max_len, dp[i][j])
    
    return max_len

步骤8：复杂度分析

• 排序：O(n log n)
• 滑动窗口：O(n)
• 空间复杂度：O(n) 用于存储频率计数

步骤9：示例验证

以nums = [1,3,2,2,5,2,3,7], k = 1为例：

1. 排序后：[1,2,2,2,3,3,5,7]
2. 考虑数值对(2,3)：基础长度 = 3(个2) + 2(个3) = 5
3. 剩余k=1，可以添加1个异常值（5或1）
4. 最终得到长度6：[1,2,2,2,3,3] 或 [2,2,2,3,3,5]

这个解法能够有效地找到最长的和谐子序列，同时允许最多k个异常元素。