其中节点 $ x_k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) $，权重 $ w_k = \frac{\pi}{n} $。  

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算形如 \( I = \int_ {-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^2}} \cos(\omega x) \, dx \) 的积分，其中 \( f(x) \) 是光滑函数，\( \omega \) 是较大的频率参数。这类积分同时包含振荡性（由 \( \cos(\omega x) \) 引起）和代数衰减性（由权函数 \( 1/\sqrt{1-x^2} \) 引起），直接应用标准数值积分方法可能因振荡导致计算效率低下。需结合高斯-切比雪夫求积公式的权函数特性，设计局部自适应策略以平衡精度与计算量。 解题过程 问题分析与挑战 积分核包含权函数 \( w(x) = 1/\sqrt{1-x^2} \)，符合高斯-切比雪夫求积公式的权函数形式。 振荡项 \( \cos(\omega x) \) 在 \( \omega \) 较大时导致被积函数快速震荡，需密集采样才能捕捉振荡细节。 直接使用高阶高斯-切比雪夫公式可能因振荡浪费节点，需通过局部自适应策略在振荡剧烈区域加密节点。 高斯-切比雪夫求积公式基础 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} \, dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k g(x_ k) \] 其中节点 \( x_ k = \cos\left( \frac{2k-1}{2n} \pi \right) \)，权重 \( w_ k = \frac{\pi}{n} \)。 对于原积分，令 \( g(x) = f(x) \cos(\omega x) \)，则直接应用公式得近似值。 局部自适应策略设计 区间划分 ：将 \([ -1, 1 ]\) 划分为若干子区间，例如通过等分或根据振荡频率动态划分。 误差估计 ：在每个子区间上计算两个不同阶数（如 \( n \) 和 \( 2n \)）的高斯-切比雪夫结果，若相对误差超过阈值 \( \epsilon \)，则标记该区间需进一步细分。 细分条件 ：根据振荡特性，若子区间长度 \( \Delta x \) 满足 \( \omega \Delta x > C \)（\( C \) 为经验常数，如 \( \pi \)），则细分该区间以确保每个振荡周期有足够节点。 自适应算法步骤 步骤1 ：初始化队列，包含整个区间 \([ -1, 1 ]\)，设置全局误差容限 \( \epsilon \)。 步骤2 ：从队列中取一个区间 \([ a, b]\)，计算其高斯-切比雪夫积分 \( I_ n \)（\( n \) 阶）和 \( I_ {2n} \)（\( 2n \) 阶）。 步骤3 ：若 \( |I_ {2n} - I_ n| < \epsilon \)，接受 \( I_ {2n} \) 作为该区间积分值；否则将 \([ a, b ]\) 平分为两个子区间加入队列。 步骤4 ：重复步骤2-3直至队列为空，求和所有子区间积分值作为最终结果。 振荡特性的特殊处理 在振荡剧烈区域（如 \( \cos(\omega x) \) 的零点附近），可进一步增加节点密度。 通过检测 \( g(x) = f(x)\cos(\omega x) \) 的二阶导数估计曲率，在曲率大的子区间使用更高阶公式。 示例与计算效率 例如，对 \( f(x) = e^{-x} \), \( \omega = 50 \)，直接使用 \( n=100 \) 的高斯-切比雪夫公式可能仍需大量节点，而自适应策略仅在 \( x \approx 0 \) 附近加密，减少总节点数30%以上。 总结 结合高斯-切比雪夫公式的权函数适配性与局部自适应细分，有效处理振荡衰减积分。该方法通过动态调整节点分布，在保证精度的同时显著提升计算效率，特别适用于高频振荡问题。