Householder三对角化算法在对称矩阵特征值计算中的应用 我将为您讲解Householder三对角化算法，这是一种将对称矩阵转化为三对角形式的重要预处理技术，为后续的特征值计算奠定基础。 问题描述 给定一个n×n实对称矩阵A，我们需要找到一个正交相似变换，将A转化为三对角矩阵T，即T = QᵀAQ，其中Q是正交矩阵，T是三对角矩阵（只有主对角线及其相邻的两条对角线上有非零元素）。 算法步骤详解 第一步：理解三对角化的意义 对称矩阵的三对角化是许多特征值算法（如QR算法、分治法）的关键预处理步骤： 三对角矩阵保持了原矩阵的所有特征值 三对角形式大大简化了后续特征值计算的计算量 正交变换保证了数值稳定性 第二步：Householder反射的基本原理 Householder反射是构造正交矩阵的核心工具： 定义：H = I - 2uuᵀ/(uᵀu)，其中u是反射向量 性质：H是对称(Hᵀ=H)且正交(HᵀH=I)的 几何意义：将向量x反射到关于u的垂直超平面的另一侧 第三步：第一次变换的详细构造 对于第一列变换： 考虑A的第一列：a₁ = [ a₂₁, a₃₁, ..., aₙ₁ ]ᵀ 计算反射向量u₁ = a₁ + sign(a₂₁)‖a₁‖e₁ 其中e₁ = [ 1, 0, ..., 0 ]ᵀ ∈ ℝⁿ⁻¹ sign函数确保数值稳定性 构造Householder矩阵：H₁ = I - 2u₁u₁ᵀ/(u₁ᵀu₁) 构建分块正交矩阵：Q₁ = diag(1, H₁) 应用相似变换：A₁ = Q₁AQ₁ 经过第一次变换后，A₁的第一行和第一列除了前两个元素外都变为零。 第四步：递推过程的数学描述 对于第k次变换(k=1,2,...,n-2)： 提取子矩阵：考虑Aₖ₋₁的右下角(n-k)×(n-k)子矩阵 构造反射向量：uₖ = aₖ + sign(aₖ₊₁,ₖ)‖aₖ‖e₁ 构建Householder矩阵：Hₖ = I - 2uₖuₖᵀ/(uₖᵀuₖ) 构造分块正交矩阵：Qₖ = diag(Iₖ, Hₖ) 更新矩阵：Aₖ = QₖAₖ₋₁Qₖ 第五步：最终三对角矩阵的获得 经过n-2次变换后： 最终矩阵T = Aₙ₋₂是三对角矩阵 累积正交矩阵Q = Q₁Q₂⋯Qₙ₋₂ 满足T = QᵀAQ 第六步：算法实现的关键技巧 隐式存储 ：只需存储三对角元素，节省内存 向量更新 ：利用矩阵对称性，只计算一半元素 数值稳定性 ：通过合适的sign选择避免舍入误差 第七步：计算复杂度分析 浮点运算量：约4n³/3次运算 存储需求：原矩阵的n(n+1)/2个元素减少到三对角矩阵的3n-2个元素 相比稠密矩阵，三对角形式的特征值计算复杂度从O(n³)降到O(n²) 这个算法为对称矩阵特征值计算提供了高效的预处理，是许多现代数值线性代数软件包的核心组件。