基于线性规划的图最大团问题的分支定界法求解示例 我将为您讲解如何使用分支定界法结合线性规划求解图的最大团问题。 问题描述 给定一个无向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。团（clique）是图的一个顶点子集，其中任意两个顶点都相邻（即有边连接）。最大团问题是寻找图中包含顶点数最多的团。 问题建模 设图有n个顶点，定义决策变量x_ i： x_ i = 1 表示顶点i在团中 x_ i = 0 表示顶点i不在团中 目标函数：最大化团的大小 $$\max \sum_ {i=1}^n x_ i$$ 约束条件：对于任意两个不相邻的顶点i和j（即(i,j)∉E），它们不能同时出现在团中 $$x_ i + x_ j \leq 1, \quad \forall (i,j) \notin E$$ $$x_ i \in \{0,1\}, \quad i=1,\ldots,n$$ 解题过程 步骤1：线性规划松弛 将整数约束松弛为连续约束： $$0 \leq x_ i \leq 1, \quad i=1,\ldots,n$$ 求解这个线性规划问题，得到上界。如果解恰好是整数解，则找到最优解；否则进入分支定界过程。 步骤2：分支定界框架 初始化：当前最优解为空，最优值=0 将原问题作为根节点加入待处理节点列表 当待处理节点列表非空时： 选择节点并求解其线性规划松弛 如果不可行或上界≤当前最优值，剪枝 如果得到整数解且优于当前最优解，更新 否则选择分数变量进行分支 步骤3：具体实例演示 考虑图G有4个顶点，边集：E={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)} 初始线性规划松弛： $$\max x_ 1 + x_ 2 + x_ 3 + x_ 4$$ 约束： $$x_ 1 + x_ 4 \leq 1 \quad (\text{顶点1和4不相邻})$$ $$0 \leq x_ i \leq 1, i=1,\ldots,4$$ 求解得：x=(0.5,1,1,0.5)，目标值=3 步骤4：分支过程 选择分数变量x₁进行分支： 节点1 ：固定x₁=0 问题变为：max x₂+x₃+x₄ 约束：x₂+x₃+x₄ ≤ ? （无不相邻约束） 求解得：x=(0,1,1,1)，目标值=3（整数解） 更新当前最优解：{2,3,4}，大小=3 节点2 ：固定x₁=1 由于x₁=1，根据约束x₁+x₄≤1，得x₄=0 问题：max 1+x₂+x₃+0 约束：无其他不相邻约束 求解得：x=(1,1,1,0)，目标值=3（整数解） 步骤5：结果分析 找到两个最大团：{2,3,4}和{1,2,3}，大小均为3。 算法优化技巧 变量选择策略：选择分数值最接近0.5的变量分支 节点选择策略：采用最佳上界优先 预处理：使用图论方法预先排除不可能在最大团中的顶点 割平面：添加有效的不等式加强线性规划松弛 这个方法通过系统地探索解空间，利用线性规划提供上界，有效地避免了枚举所有可能的子集，对于中等规模的图最大团问题具有较好的实用性。