基于线性规划的图最小费用循环流问题的网络单纯形法求解示例 我将为您讲解如何使用网络单纯形法求解图的最小费用循环流问题。这是一个结合了图论和线性规划的经典问题。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边(i,j)∈E有容量u_ ij≥0和单位流量费用c_ ij 每个顶点i∈V有供需量b_ i（∑b_ i=0） 目标是找到满足所有顶点供需约束和边容量约束的循环流，使得总流量费用最小。 数学模型 min ∑(c_ ij × x_ ij) 对所有边(i,j)∈E 约束条件： 流量平衡：对于每个顶点i，∑x_ ij - ∑x_ ji = b_ i（对所有出边j和入边j） 容量约束：0 ≤ x_ ij ≤ u_ ij 对所有边(i,j)∈E 解题过程 步骤1：构建初始生成树 网络单纯形法需要一个初始可行解。我们通过添加人工变量来构建： 选择一个根节点r 对每个顶点i≠r，添加一条从r到i的人工边，容量足够大，费用为M（大正数） 这样形成的生成树包含所有人工边 步骤2：确定初始流 在初始生成树上分配流量： 从叶子节点开始向上计算 对于节点i，其流量需求为b_ i减去所有子节点的净流出量 人工边上的流量设置为满足流量平衡所需的值 步骤3：最优性检验（约简费用计算） 对于当前生成树，我们需要检查是否达到最优： 计算顶点势能π：从根节点开始，设π_ r=0，对于树边(i,j)，有π_ j = π_ i - c_ ij 计算非树边的约简费用：c'_ ij = c_ ij + π_ i - π_ j 如果所有非树边的约简费用c'_ ij ≥ 0，则当前解最优 步骤4：确定进基边 如果存在约简费用为负的非树边，选择其中一条作为进基边： 通常选择约简费用最小的边 或者使用最负规则：选择c'_ ij < 0且|c'_ ij|最大的边 步骤5：确定离基边和流量调整量 将进基边加入生成树会形成一个环： 识别环的方向：从进基边的起点到终点 在环上，与进基边同向的边为前向边，反向的边为后向边 计算最大调整量θ： θ = min{ u_ ij - x_ ij（对前向边）， x_ ij（对后向边） } 达到调整量限制的边成为离基边 步骤6：基变换和流量更新 从生成树中移除离基边，加入进基边 更新环上所有边的流量： x_ ij ← x_ ij + θ（前向边） x_ ij ← x_ ij - θ（后向边） 更新顶点势能 步骤7：迭代收敛 重复步骤3-6，直到所有非树边的约简费用非负，此时得到最优解。 算法特点 每次迭代保持解的可行性 在生成树结构上操作，计算高效 避免了普通单纯形法的退化问题 特别适合网络流问题的结构特性 这个方法将图的最小费用循环流问题转化为在生成树空间中的搜索问题，利用网络结构的特殊性提高了求解速度。