高斯-埃尔米特求积公式在概率密度函数矩估计中的应用
题目描述
我们需要计算标准正态分布随机变量的高阶原点矩 \(E[X^k] = \int_{-\infty}^{\infty} x^k \phi(x)dx\)，其中 \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\) 是标准正态分布的概率密度函数。要求通过高斯-埃尔米特求积公式高效计算 \(k=4\) 时的四阶原点矩（峰度计算的关键组件）。
解题过程
1. 问题分析与公式匹配
高斯-埃尔米特求积公式适用于计算形式为 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)dx\) 的积分。当前被积函数为 \(x^k \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} x^k e^{-x^2/2}\)，需通过变量替换匹配标准形式：
- 令 \(t = x/\sqrt{2}\)，则 \(x = t\sqrt{2}\)，\(dx = \sqrt{2}dt\)
- 原积分转换为：
\[ E[X^k] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (t\sqrt{2})^k e^{-t^2} \sqrt{2} dt = \frac{2^{k/2}}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} t^k e^{-t^2} dt \]
此时积分变为高斯-埃尔米特求积的标准形式 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2} g(t)dt\) 其中 \(g(t) = t^k\)。
2. 高斯-埃尔米特求积公式
n 点求积公式为：
\[\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i) \]
其中 \(x_i\) 是埃尔米特多项式 \(H_n(x)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{2^{n-1} n! \sqrt{\pi}}{n^2 [H_{n-1}(x_i)]^2}\)。对于标准形式，需注意权重已包含 \(e^{-x^2}\) 部分。
3. 节点与权重的选取
对于 \(k=4\)，被积函数 \(t^4\) 是四次多项式。由于 n 点高斯-埃尔米特公式可精确积分 \(2n-1\) 次多项式，因此选择 \(n=3\) 即可实现精确计算（\(2\times3-1=5 \geq 4\)）。三阶埃尔米特多项式 \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\) 的根为：
\[x_1 = -\sqrt{3/2},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{3/2} \]
对应权重为：
\[w_1 = \frac{\sqrt{\pi}}{6},\quad w_2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3},\quad w_3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6} \]
（具体数值计算时需验证标准化形式）
4. 积分计算
将 \(g(t) = t^4\) 代入求积公式：
\[\int_{-\infty}^{\infty} t^4 e^{-t^2} dt \approx \sum_{i=1}^3 w_i t_i^4 = w_1 t_1^4 + w_2 t_2^4 + w_3 t_3^4 \]
代入节点值：
\[t_1^4 = (3/2)^2 = 9/4,\quad t_2^4 = 0,\quad t_3^4 = 9/4 \]
权重值：
\[w_1 = w_3 = \frac{\sqrt{\pi}}{6},\quad w_2 = \frac{2\sqrt{\pi}}{3} \]
求和得：
\[\sum w_i t_i^4 = 2 \times \frac{\sqrt{\pi}}{6} \times \frac{9}{4} + 0 = \frac{3\sqrt{\pi}}{4} \]
5. 还原至原问题
代回变量替换后的表达式：
\[E[X^4] = \frac{2^{4/2}}{\sqrt{\pi}} \times \frac{3\sqrt{\pi}}{4} = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \times \frac{3\sqrt{\pi}}{4} = 3 \]
此结果与标准正态分布的四阶原点矩理论值完全一致。
关键点总结
- 通过变量替换将概率密度积分匹配高斯-埃尔米特标准形式
- 利用多项式精度特性选择最低足够节点数（\(n=3\)）
- 节点与权重需严格对应标准定义形式
- 该方法可推广至任意高阶矩的计算，且对偶数 k 具有精确性