分块矩阵的预处理双共轭梯度法（PBiCG）解非对称线性方程组
我将为您详细讲解分块矩阵的预处理双共轭梯度法（PBiCG）在求解非对称线性方程组中的应用。
问题描述
考虑非对称线性方程组 Ax = b，其中 A ∈ Rⁿˣⁿ 是非对称矩阵，b ∈ Rⁿ 是已知向量。当矩阵A规模很大且呈分块结构时，直接解法效率低下。PBiCG算法结合了预处理技术和双共轭梯度法，能有效求解此类问题。
算法推导过程
1. 基本双共轭梯度法（BiCG）原理
BiCG通过构建两个相互正交的Krylov子空间来求解：
- Kₖ(A; r₀) = span{r₀, Ar₀, A²r₀, ..., Aᵏ⁻¹r₀}
- Kₖ(Aᵀ; r̃₀) = span{r̃₀, Aᵀr̃₀, (Aᵀ)²r̃₀, ..., (Aᵀ)ᵏ⁻¹r̃₀}
关键的双正交条件：
(rᵢ, r̃ⱼ) = 0, ∀i ≠ j
2. 分块矩阵预处理技术
对于分块矩阵 A = [A₁₁ A₁₂; A₂₁ A₂₂]，预处理子M应满足：
- M ≈ A
- M⁻¹v 容易计算
常用分块预处理子：
- 块对角预处理：M = diag(A₁₁, A₂₂)
- 块三角预处理：M = [A₁₁ 0; A₂₁ A₂₂]
3. PBiCG算法步骤
步骤1：初始化
- 选择初始解 x₀
- 计算初始残差 r₀ = b - Ax₀
- 选择初始对偶残差 r̃₀（通常取 r̃₀ = r₀）
- 设置初始搜索方向 p₀ = r₀, p̃₀ = r̃₀
步骤2：迭代过程（对于k=0,1,2,...）
(1) 预处理步骤：
zₖ = M⁻¹rₖ
z̃ₖ = M⁻ᵀr̃ₖ
(2) 计算内积：
ρₖ = (rₖ, z̃ₖ)
(3) 检查收敛性：
如果 |ρₖ| < ε，则停止迭代
(4) 更新搜索方向：
如果k=0：
pₖ = zₖ
p̃ₖ = z̃ₖ
否则：
βₖ = ρₖ/ρₖ₋₁
pₖ = zₖ + βₖpₖ₋₁
p̃ₖ = z̃ₖ + βₖp̃ₖ₋₁
(5) 矩阵向量乘积：
qₖ = Apₖ
q̃ₖ = Aᵀp̃ₖ
(6) 计算步长：
αₖ = ρₖ/(p̃ₖ, qₖ)
(7) 更新解和残差：
xₖ₊₁ = xₖ + αₖpₖ
rₖ₊₁ = rₖ - αₖqₖ
r̃ₖ₊₁ = r̃ₖ - αₖq̃ₖ
4. 分块预处理实现细节
对于分块矩阵 A = [A₁₁ A₁₂; A₂₁ A₂₂]，块对角预处理：
M = [M₁₁ 0; 0 M₂₂]
其中Mᵢᵢ ≈ Aᵢᵢ，预处理步骤简化为：
[M₁₁ 0; 0 M₂₂][z₁; z₂] = [r₁; r₂]
这分解为两个独立子问题：
M₁₁z₁ = r₁
M₂₂z₂ = r₂
5. 收敛性分析
PBiCG的收敛速度取决于预处理后矩阵M⁻¹A的特征值分布。理想情况下，M⁻¹A的特征值应聚集在1附近，且远离原点。
6. 算法特点
- 优点：适用于非对称问题，内存需求固定
- 缺点：需要计算Aᵀ，可能发生中断
- 适用：大型稀疏非对称分块矩阵
实际应用考虑
- 预处理子选择对性能至关重要
- 应监控残差范数防止数值不稳定
- 可结合重启策略提高鲁棒性
该算法通过有效利用矩阵的分块结构，显著提高了BiCG方法在求解大型非对称线性方程组时的效率和稳定性。