高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的变量替换技巧

题目描述
在核废料衰变热计算中，需要求解形如

\[I = \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t} t^{\alpha} \ln(1 + t) \, dt \]

的积分，其中 \(\lambda > 0\) 为衰变常数，\(\alpha > -1\) 为与材料相关的参数。该积分的被积函数在 \(t \to \infty\) 时呈指数衰减，但在 \(t=0\) 附近可能具有弱奇异性（若 \(\alpha < 0\)）。要求通过高斯-拉盖尔求积公式高效计算该积分，并解决 \(t=0\) 处的潜在奇异性问题。

解题过程

1. 问题分析
   高斯-拉盖尔求积公式适用于积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-t} f(t) \, dt\)，其节点和权重由拉盖尔多项式的零点确定。当前积分核为 \(e^{-\lambda t}\)，与标准形式 \(e^{-t}\) 不匹配，且被积函数包含 \(t^{\alpha} \ln(1+t)\)，在 \(t=0\) 附近若 \(\alpha < 0\) 会发散。

2. 变量替换标准化核函数
   令 \(s = \lambda t\)，则 \(t = s/\lambda\)，\(dt = ds/\lambda\)，积分变为：

\[ I = \frac{1}{\lambda^{\alpha+1}} \int_{0}^{\infty} e^{-s} s^{\alpha} \ln\left(1 + \frac{s}{\lambda}\right) ds. \]

此时积分核化为 \(e^{-s}\)，与高斯-拉盖尔公式的标准形式一致。

3. 处理 \(s=0\) 处的奇异性
   若 \(\alpha < 0\)，被积函数 \(s^{\alpha} \ln(1 + s/\lambda)\) 在 \(s=0\) 处无界，直接应用高斯-拉盖尔公式可能精度不足。需通过变量替换将奇异性吸收到权函数中：
   • 令 \(u = s^{\beta}\)，其中 \(\beta = 1/(1+\alpha)\)（若 \(\alpha < 0\)），使得 \(s = u^{1/\beta}\)，\(ds = \frac{1}{\beta} u^{1/\beta - 1} du\)。
   • 代入积分后，被积函数变为：

\[ I = \frac{1}{\lambda^{\alpha+1} \beta} \int_{0}^{\infty} e^{-u^{1/\beta}} u^{\frac{\alpha + 1/\beta - 1}{\beta}} \ln\left(1 + \frac{u^{1/\beta}}{\lambda}\right) du. \]

• 调整参数使新权函数接近 \(e^{-u}\)，例如当 \(\alpha \approx 0\) 时，\(\beta \approx 1\)，权函数仍近似为指数衰减。

4. 应用高斯-拉盖尔求积公式
   对标准化后的积分 \(\int_{0}^{\infty} e^{-u} g(u) \, du\)，选取 \(n\) 个节点 \(u_i\) 和权重 \(w_i\)（由拉盖尔多项式零点确定），计算：

\[ I \approx \frac{1}{\lambda^{\alpha+1} \beta} \sum_{i=1}^{n} w_i \, g(u_i), \]

其中 \(g(u_i) = e^{u_i - u_i^{1/\beta}} u_i^{\frac{\alpha + 1/\beta - 1}{\beta}} \ln\left(1 + \frac{u_i^{1/\beta}}{\lambda}\right)\)。

• 若未进行奇异性处理（即 \(\beta=1\)），则直接取 \(g(s) = s^{\alpha} \ln(1 + s/\lambda)\)。

5. 误差控制与节点数选择
   • 高斯-拉盖尔公式对光滑函数具有指数收敛性，但若 \(g(u)\) 在 \(u=0\) 附近变化剧烈，需增加节点数 \(n\)。
   • 可通过比较 \(n\) 和 \(n+1\) 节点的结果差值，若小于预设容差则停止。

关键点总结

• 通过变量替换 \(s = \lambda t\) 将积分核标准化为 \(e^{-s}\)。
• 针对 \(t=0\) 处的奇异性，设计变量替换 \(u = s^{\beta}\) 将奇异性吸收到权函数中。
• 最终利用高斯-拉盖尔公式的节点和权重实现高效计算。