基于线性规划的图最大流问题的Push-Relabel算法求解示例

我将为您详细讲解基于线性规划的图最大流问题的Push-Relabel算法求解过程。

问题描述
考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是有向边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定一个源点s∈V和一个汇点t∈V。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足：

1. 容量约束：每条边上的流量不超过其容量
2. 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量

解题过程

步骤1：算法基本概念
Push-Relabel算法是一种高效的最大流算法，它维护两个主要数据结构：

• 预流(preflow)：允许顶点有超额流量(excess flow)
• 高度函数(height function)：为每个顶点分配高度值

步骤2：初始化

1. 初始化高度函数：h(s)=|V|，h(v)=0（v≠s）
2. 初始化预流：
   • 对于所有从s出发的边(s,v)，设置f(s,v)=c(s,v)
   • 其他边流量设为0
3. 计算每个顶点的超额流量：e(v)=∑f(u,v)-∑f(v,w)

步骤3：基本操作定义
算法包含两种基本操作：

推流操作(Push)：
当顶点u有超额流量(e(u)>0)，且存在边(u,v)满足：

• h(u)=h(v)+1（高度差为1）
• 剩余容量r(u,v)=c(u,v)-f(u,v)>0
  则可以将min(e(u), r(u,v))的流量从u推到v

重标高度操作(Relabel)：
当顶点u有超额流量(e(u)>0)，但所有出边(v,w)都不满足推流条件时，将h(u)设置为min{h(v)+1 | (u,v)∈E且r(u,v)>0}

步骤4：算法执行流程

1. 当存在活跃顶点（除s和t外有超额流量的顶点）时：

   • 选择任意活跃顶点u
   • 尝试对u执行推流操作：
     • 如果存在满足条件的边(u,v)，执行推流
     • 否则，执行重标高度操作

2. 具体推流分为两种情况：

   • 饱和推流：推送流量等于剩余容量，边变为饱和
   • 非饱和推流：推送流量小于剩余容量，顶点超额流量变为0

步骤5：算法终止
当没有活跃顶点时，算法终止。此时：

• 源点s的出流量等于汇点t的入流量
• 这个流量值就是图的最大流

步骤6：算法正确性保证

• 高度函数保证：从源点到汇点存在高度递减的路径
• 无环性：高度约束防止流量在环中循环
• 最优性条件：当算法终止时，当前流就是最大流

步骤7：时间复杂度分析

• 基本Push-Relabel算法：O(|V|²|E|)
• 使用先进先出队列：O(|V|³)
• 使用最高标号法：O(|V|²√|E|)

这个算法相比增广路径类算法的优势在于其本地性和并行性，适合处理大规模网络流问题。