其中 $ x_i $ 为拉盖尔多项式 $ L_n(x) $ 的根，$ w_i $ 为对应权重。

高斯-拉盖尔求积公式在带振荡衰减函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算半无穷区间积分： \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \cdot \frac{\sin(10x)}{1+x^2} dx \] 该被积函数包含指数衰减因子 \( e^{-x} \) 和振荡衰减部分 \( \frac{\sin(10x)}{1+x^2} \)。高斯-拉盖尔求积公式适用于权函数 \( e^{-x} \) 的积分，但振荡特性可能导致标准公式在有限节点下精度不足。需设计局部自适应策略，在振荡剧烈区间加密节点以提高精度。 解题过程 问题分析 积分核为 \( e^{-x} \)，符合高斯-拉盖尔求积公式的权函数形式。 振荡部分 \( \frac{\sin(10x)}{1+x^2} \) 在 \( x \) 较小时振荡频率高，振幅衰减缓慢；随着 \( x \) 增大，振幅因分母 \( 1+x^2 \) 而衰减。 直接应用低阶高斯-拉盖尔公式可能因节点过疏而无法捕捉振荡细节，需在振荡密集区间局部增加节点。 高斯-拉盖尔公式基础 \( n \) 点高斯-拉盖尔公式形式为： \[ \int_ {0}^{\infty} e^{-x} f(x) dx \approx \sum_ {i=1}^{n} w_ i f(x_ i) \] 其中 \( x_ i \) 为拉盖尔多项式 \( L_ n(x) \) 的根，\( w_ i \) 为对应权重。 标准公式对光滑函数收敛快，但对振荡函数需更高阶数或自适应调整。 局部自适应策略设计 区间划分 ：将积分区间划分为子区间，例如 \( [ 0, a_ 1], [ a_ 1, a_ 2], \ldots, [ a_ {k}, \infty) \)，其中子区间长度根据振荡频率调整。 误差估计 ：在每个子区间应用高斯-拉盖尔公式，比较低阶和高阶结果的差异作为误差指示。若误差超阈值，则细分该区间。 振荡检测 ：通过计算子区间内函数导数的变化或傅里叶分析，识别振荡频繁的区间。例如，若子区间内函数过零点数量多，则标记为需加密。 计算步骤 步骤1 ：初始化整个区间 \( [ 0, \infty) \) 为待处理列表。 步骤2 ：从列表中取一个区间 \( [ a,b] \)，分别用 \( n \) 点和 \( 2n \) 点高斯-拉盖尔公式计算积分近似 \( I_ 1 \) 和 \( I_ 2 \)。 步骤3 ：若 \( |I_ 1 - I_ 2| < \epsilon \)（预设容差），接受 \( I_ 2 \) 作为该区间积分值；否则将区间平分为二，加入待处理列表。 步骤4 ：重复步骤2-3，直到所有区间处理完毕，求和得最终积分值。 策略优化 动态调整子区间划分，在振荡剧烈区域（如 \( x \in [ 0, 2 ] \)）使用更密划分，在平滑区域（如 \( x > 5 \)）使用较疏划分。 结合振荡频率预估，例如根据 \( \sin(10x) \) 的周期 \( \pi/5 \)，确保每个子区间包含至少数个振荡周期。 示例计算 对 \( n=5 \) 和 \( n=10 \) 的高斯-拉盖尔公式，在区间 \( [ 0, 1] \) 直接计算可能误差较大。通过自适应划分，在 \( [ 0, 0.5] \) 和 \( [ 0.5, 1 ] \) 分别应用公式，误差显著降低。 实际编程时需设置最大递归深度以防无限划分，并利用高斯-拉盖尔公式的节点权重表高效计算。 总结 通过结合高斯-拉盖尔公式的指数权函数特性和局部自适应细分，可有效处理振荡衰减函数的半无穷积分，平衡计算效率与精度。该方法可推广至其他带振荡的加权积分问题。