基于线性规划的图最小费用流问题的原始-对偶近似算法求解示例 我将为您讲解基于线性规划的图最小费用流问题的原始-对偶近似算法。这个算法结合了线性规划的对偶理论和组合优化技术，能够高效求解网络流问题。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边e∈E有容量u(e)≥0和单位流量费用c(e)∈R 每个顶点i∈V有需求b(i)，满足∑b(i)=0 目标是找到满足所有顶点需求的最小费用流 数学模型 原始问题： min ∑(e∈E) c(e)f(e) s.t. ∑(j:(i,j)∈E) f(i,j) - ∑(j:(j,i)∈E) f(j,i) = b(i), ∀i∈V 0 ≤ f(e) ≤ u(e), ∀e∈E 算法步骤详解 步骤1：构造对偶问题 首先写出原始问题的对偶： max ∑(i∈V) b(i)π(i) - ∑(e∈E) u(e)α(e) s.t. π(i) - π(j) - α(e) ≤ c(e), ∀e=(i,j)∈E α(e) ≥ 0, ∀e∈E 其中π(i)是顶点i的势能，α(e)是边e的容量约束对应的对偶变量。 步骤2：初始化 设置初始流f(e)=0，∀e∈E 设置初始对偶解π(i)=0，∀i∈V 设置α(e)=0，∀e∈E 定义剩余图G_ f，初始时与G相同 步骤3：计算约化费用 对于每条边e=(i,j)，计算约化费用： c_ π(e) = c(e) - π(i) + π(j) 约化费用反映了在当前对偶解下，使用该边的实际成本。 步骤4：寻找可增广路径 在剩余图G_ f中： 只考虑满足c_ π(e) ≤ 0的边（这些边在当前对偶解下是"便宜"的） 寻找从源点到汇点的路径，其中源点是b(i)>0的顶点，汇点是b(i) <0的顶点 如果找到这样的路径P，转到步骤5；否则转到步骤6 步骤5：增广流 沿找到的路径P推送尽可能多的流量： δ = min{ min(u(e)-f(e) for e∈P), min(-b(i) for i是P中的汇点) } 对于P中的每条边e： 如果e是前向边：f(e) = f(e) + δ 如果e是反向边：f(e) = f(e) - δ 更新顶点需求b(i) 步骤6：更新对偶变量 如果没有可增广路径，需要更新对偶变量来创造新的可增广机会： 计算从源点集合S可达的顶点集合S 对于i∈S，令π(i) = π(i) + ε 对于跨越割(S,V\S)的边e=(i,j)，其中i∈S, j∉S，如果c_ π(e) < 0，设置α(e) = α(e) + ε 其中ε是满足对偶可行性的最大步长。 步骤7：终止检查 检查是否所有顶点需求得到满足： 如果∑|b(i)|=0，算法终止，输出最优流f 否则返回步骤3 算法分析 这个原始-对偶算法具有以下性质： 始终保持对偶可行性 每次迭代要么增广流，要么改进对偶目标值 对于整数容量和需求，算法在多项式时间内收敛 最终得到的流是最小费用流，对偶解是最优对偶解 实例演示 考虑一个简单网络： 顶点：{1,2,3}，需求：b(1)=2, b(2)=0, b(3)=-2 边：1→2: 容量3，费用1；2→3: 容量3，费用1；1→3: 容量2，费用3 算法执行过程： 初始：所有流为0，对偶变量为0 找到路径1→2→3，推送流量2，费用=2×(1+1)=4 检查最优性：当前流确实是最小费用流 这个算法通过原始流和对偶变量的交替更新，有效地找到了最小费用流解。