其中节点 $x_k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)$，权重 $w_k = \frac{\pi}{n}$。  

高斯-切比雪夫求积公式在带振荡衰减函数积分中的局部自适应策略 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {-1}^{1} \frac{\cos(50x) e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} dx \] 该被积函数在区间 \([ -1,1 ]\) 内具有振荡性和指数衰减特性，且包含切比雪夫权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。要求结合高斯-切比雪夫求积公式与局部自适应方法，高效控制计算误差。 解题过程 问题分析 被积函数 \(f(x) = \cos(50x) e^{-x^2}\) 的高频振荡性导致积分值集中在部分区域，直接使用全域求积公式需大量节点，效率低。 权函数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 对应第一类切比雪夫权，高斯-切比雪夫求积公式可精确处理此类权积分，但对振荡函数的适应性需通过局部细分提升精度。 高斯-切比雪夫求积公式基础 公式形式： \[ \int_ {-1}^{1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx \approx \sum_ {k=1}^{n} w_ k g(x_ k) \] 其中节点 \(x_ k = \cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\)，权重 \(w_ k = \frac{\pi}{n}\)。 该公式对多项式函数具有最高代数精度，但对非多项式函数需增加节点数或结合自适应策略。 局部自适应策略设计 步骤1：初始区间划分 将 \([ -1,1 ]\) 等分为若干子区间（如 \(m\) 份），对每个子区间应用高斯-切比雪夫公式。 步骤2：误差估计 在子区间 \([ a,b]\) 上，分别用 \(n\) 点和 \(2n\) 点求积公式计算积分近似值 \(I_ 1\) 和 \(I_ 2\)，以 \(|I_ 1 - I_ 2|\) 作为误差估计。若误差超过阈值 \(\varepsilon\)，则标记该区间需进一步细分。 步骤3：递归细分 对不满足精度要求的子区间进行二分，递归应用步骤2，直至所有子区间误差满足要求或达到最大递归深度。 步骤4：结果汇总 将所有子区间的积分结果求和，得到全局积分近似值。 算法实现细节 节点映射 ：对于子区间 \([ a,b]\)，通过线性变换 \(t = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}x\) 将标准节点 \(x_ k \in [ -1,1]\) 映射到 \([ a,b]\)，权重调整为 \(w_ k' = \frac{b-a}{2} \cdot \frac{\pi}{n}\)。 振荡函数处理 ：由于 \(\cos(50x)\) 的周期为 \(0.04\pi\)，子区间长度应小于周期的一半以避免漏峰。 终止条件 ：设置误差容限 \(\varepsilon = 10^{-6}\) 和最大递归深度（如10层），防止无限细分。 计算示例与误差分析 对初始划分 \(m=4\)，采用 \(n=10\) 的高斯-切比雪夫公式，递归细分后主要集中在上次振荡区域（如 \(x \in [ -0.5,0.5 ]\)）。 与高精度基准值对比，自适应策略在相同计算量下可将误差降低至 \(O(10^{-7})\)，而非自适应方法（全域均匀节点）误差为 \(O(10^{-4})\)。 策略优势与局限性 优势 ：通过局部加密显著减少总节点数，兼顾效率与精度；权函数自然嵌入公式，避免显式处理奇异性。 局限性 ：高频振荡函数需更细的初始划分；递归开销可能随维度增加而指数增长（仅适用于一维问题）。 通过结合高斯-切比雪夫公式的权函数处理能力与局部自适应策略，本方法有效平衡了振荡函数积分的计算效率与精度需求。