此时积分区间变为 $[0,1]$，但被积函数 $ g(t) = \sin(10\ln t) $ 在 $ t \to 0^+ $ 时振荡加剧（因 $\ln t \to -\infty$），需进一步处理奇异性。

自适应高斯-克朗罗德积分法在带振荡衰减函数积分中的正则化变换技巧 题目描述 计算积分 \[ I = \int_ {0}^{\infty} e^{-x} \sin(10x) \, dx \] 该被积函数 \( f(x) = e^{-x} \sin(10x) \) 在无穷区间 \( [ 0, \infty)\) 上具有振荡衰减特性（指数衰减与高频振荡），直接数值积分可能因振荡导致误差累积。要求结合自适应高斯-克朗罗德积分法与正则化变换技巧，高效控制计算误差。 解题过程 问题分析与正则化变换 振荡衰减函数的挑战 ：被积函数的高频振荡（\(\sin(10x)\)）和无穷区间会导致数值积分收敛缓慢，普通求积公式需要大量节点。 正则化变换目的 ：通过变量替换将无穷区间映射到有限区间，同时平滑振荡行为。 变换选择 ：令 \( t = e^{-x} \)，则 \( x = -\ln t \)，\( dx = -\frac{1}{t} dt \)。积分变为： \[ I = \int_ {1}^{0} t \cdot \sin(-10\ln t) \cdot \left(-\frac{1}{t}\right) dt = \int_ {0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt. \] 此时积分区间变为 \([ 0,1 ]\)，但被积函数 \( g(t) = \sin(10\ln t) \) 在 \( t \to 0^+ \) 时振荡加剧（因 \(\ln t \to -\infty\)），需进一步处理奇异性。 处理端点振荡奇异性 在 \( t=0 \) 附近，函数振荡无界，直接积分仍困难。引入二次变换：令 \( u = -\ln t \)，则 \( t = e^{-u} \)，\( dt = -e^{-u} du \)，积分还原为原始形式，但可结合高斯-拉盖尔求积公式（适用于权重 \( e^{-u} \) 的无穷积分）。 替代方案 ：直接对原积分应用高斯-拉盖尔公式（权重 \( e^{-x} \)），但高频振荡仍需更多节点。此处选择 自适应高斯-克朗罗德法 ，因其能动态调整节点并提供误差估计。 自适应高斯-克朗罗德积分法原理 基础公式 ：在子区间 \([ a,b]\) 上，使用 \( n \)-点高斯求积（节点数 \( n \)）计算近似值 \( G_ n \)，同时用 \( 2n+1 \)-点克朗罗德求积计算 \( K_ {2n+1} \)。以差值 \( \Delta = |K_ {2n+1} - G_ n| \) 作为误差估计。 自适应策略 ：若 \( \Delta > \varepsilon \)（设定容差），则将区间二分并递归处理。 正则化变换后的积分处理 对变换后的积分 \( I = \int_ {0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt \)，被积函数在 \( t=0 \) 附近振荡频繁（例如 \( t=0.001 \) 时，\( 10\ln t \approx -69.1 \)，正弦函数快速振荡）。 局部加密策略 ：在 \( t \in [ 0, \delta ] \)（如 \( \delta=0.1 \)）内采用更细的划分，利用自适应高斯-克朗罗德法捕捉振荡细节。 计算步骤示例 步骤1 ：将原积分通过变换 \( t = e^{-x} \) 映射到 \([ 0,1]\)，得 \( I = \int_ {0}^{1} \sin(10\ln t) \, dt \)。 步骤2 ：设定容差 \( \varepsilon = 10^{-6} \)。在 \([ 0,1 ]\) 上应用自适应高斯-克朗罗德法（例如 \( n=7 \) 的高斯公式和 \( 15 \) 点的克朗罗德公式）。 步骤3 ：检测子区间误差。在 \( t \in [ 0, 0.1] \) 内，因振荡剧烈，误差 \( \Delta \) 易超限，将该区间二分递归计算；在 \( t \in [ 0.1, 1 ] \) 内振荡平缓，可能一次通过。 步骤4 ：递归终止后，对各子区间结果求和，得积分近似值 \( I \approx 0.0990099 \)（解析解为 \( \frac{10}{101} \approx 0.0990099 \)）。 关键技巧与优势 正则化变换 ：将无穷积分化为有限积分，避免截断误差。 自适应误差控制 ：高斯-克朗罗德法通过动态细分区间，在高振荡区域增加计算精度，在平滑区域减少计算量。 振荡函数处理 ：变换后虽仍振荡，但有限区间上的自适应策略能有效处理端点奇异振荡。 通过结合正则化变换与自适应高斯-克朗罗德法，本方法在保证精度的同时显著减少了计算成本，特别适用于振荡衰减型无穷积分。