基于线性规划的图最小费用循环流问题的网络单纯形法求解示例 我将为您讲解如何使用网络单纯形法求解图的最小费用循环流问题。这是一个经典的线性规划问题在网络流中的特殊应用。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中： V是顶点集合，|V|=n E是边集合，|E|=m 每条边(i,j)∈E有容量u_ ij和单位流量费用c_ ij 每个顶点i有需求b_ i，满足Σb_ i=0 目标是找到满足所有顶点需求且总费用最小的流，即最小化Σc_ ij·f_ ij，满足： 流量平衡：对于每个顶点i，流入-流出 = b_ i 容量约束：0 ≤ f_ ij ≤ u_ ij 解题过程 步骤1：问题建模 首先将问题表述为线性规划： 最小化：Σc_ ij·f_ ij 满足： Σf_ ji - Σf_ ij = b_ i，对所有i∈V 0 ≤ f_ ij ≤ u_ ij，对所有(i,j)∈E 这是一个有n个等式约束和m个变量的线性规划。 步骤2：构造初始基解 网络单纯形法需要初始基可行解： 在图中添加人工顶点和边来构造支撑树 选择生成树T作为基，对应的边变量为基变量 非树边流量设为0（下界）或u_ ij（上界） 通过树结构计算基变量的流量值 具体计算时，从叶子节点开始，利用流量平衡方程逐层计算。 步骤3：计算对偶变量（节点势） 对于当前基解，计算节点势π： 任选一个顶点作为参考点，设其势为0 对于树边(i,j)，有：π_ i - π_ j = c_ ij 通过树的遍历计算所有节点的势 这通过解线性系统实现，由于树结构，可以高效计算。 步骤4：计算简约费用 对于每条非基边(i,j)，计算简约费用： c̄_ ij = c_ ij - π_ i + π_ j 简约费用表示增加单位流量到该边对目标函数的影响。 步骤5：最优性检验 检查所有非基边： 如果f_ ij = 0且c̄_ ij ≥ 0，则不能通过增加流量改进 如果f_ ij = u_ ij且c̄_ ij ≤ 0，则不能通过减少流量改进 否则，存在改进可能 如果所有边满足最优条件，当前解即为最优。 步骤6：选择进基边 如果当前解非最优，选择违反最优性条件的边进基： 对于f_ ij = 0且c̄_ ij < 0的边，增加流量可改进 对于f_ ij = u_ ij且c̄_ ij > 0的边，减少流量可改进 通常选择简约费用绝对值最大的边。 步骤7：确定离基边和流量调整量 进基边加入生成树会形成唯一环： 确定环的方向：如果增加进基边流量，环方向与进基边同向 沿着环检查： 前向边：流量只能增加到容量上限 反向边：流量只能减少到0 离基边是首先达到边界的边 流量调整量δ为最小可调整量 步骤8：基变换和生成树更新 从基中移除离基边 将进基边加入基，更新生成树 调整环上所有边的流量： 前向边：f_ ij ← f_ ij + δ 反向边：f_ ij ← f_ ij - δ 步骤9：迭代求解 重复步骤3-8，直到满足最优性条件。 算法特点 利用网络结构，比一般单纯形法高效 每次迭代只涉及局部计算 保持解的整数性（当数据为整数时） 实际应用中非常有效 这个算法将图论与线性规划结合，是求解网络流问题的经典方法。