括号插入的最小成本问题

题目描述：
给定一个由"("、")"和"a"组成的字符串s，以及两个整数x和y。字符串中可能包含不匹配的括号。你可以执行两种操作：

1. 在任意位置插入一个"("，成本为x
2. 在任意位置插入一个")"，成本为y

你的目标是通过最少的成本插入括号，使得整个字符串变成有效的括号序列。

解题过程：

步骤1：问题分析

• 有效的括号序列要求：每个左括号都有对应的右括号，且匹配顺序正确
• 我们需要在适当位置插入括号来修正不匹配的情况
• 插入左括号成本为x，插入右括号成本为y

步骤2：定义状态
设dp[i][j]表示将子串s[i...j]变成有效括号序列的最小成本。

步骤3：状态转移方程
情况1：如果s[i]是右括号")"，我们有两种选择：

• 在i前面插入一个左括号与之匹配，成本为x + dp[i+1][j]
• 删除s[i]（相当于插入右括号来匹配前面的左括号），成本为y + dp[i+1][j]

情况2：如果s[i]是左括号"("，我们需要找到与之匹配的右括号：

• 遍历所有可能的k(i < k ≤ j)，如果s[k]是右括号")"，那么：
  dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j])
• 或者我们也可以选择不匹配，直接插入右括号：dp[i][j] = min(dp[i][j], y + dp[i+1][j])

情况3：对于任意区间[i,j]，我们还可以考虑分割点：
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])，其中i ≤ k < j

步骤4：边界条件

• 当i > j时，dp[i][j] = 0（空字符串已经是有效的）
• 当i = j时：
  • 如果是"("，需要插入右括号，成本为y
  • 如果是")"，需要插入左括号，成本为x
  • 如果是"a"，需要插入一对括号，成本为min(x+y, 2x, 2y)中的最小值

步骤5：算法实现
我们使用自底向上的方法，按区间长度从小到大计算：

def minCostToMakeValid(s: str, x: int, y: int) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 初始化长度为1的区间
    for i in range(n):
        if s[i] == '(':
            dp[i][i] = y  # 需要插入右括号
        elif s[i] == ')':
            dp[i][i] = x  # 需要插入左括号
        else:  # 'a'
            dp[i][i] = min(x + y, 2 * x, 2 * y)
    
    # 按区间长度从小到大计算
    for length in range(2, n + 1):
        for i in range(n - length + 1):
            j = i + length - 1
            # 初始化为一个较大值
            dp[i][j] = float('inf')
            
            # 情况1：s[i]是右括号
            if s[i] == ')':
                dp[i][j] = min(dp[i][j], x + dp[i+1][j])  # 插入左括号
                dp[i][j] = min(dp[i][j], y + dp[i+1][j])  # 插入右括号（删除当前）
            
            # 情况2：s[i]是左括号  
            elif s[i] == '(':
                dp[i][j] = min(dp[i][j], y + dp[i+1][j])  # 插入右括号
                # 尝试匹配
                for k in range(i + 1, j + 1):
                    if s[k] == ')':
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j])
            
            # 情况3：s[i]是字符'a'
            else:
                # 可以当作左括号、右括号，或者普通字符处理
                dp[i][j] = min(dp[i][j], x + dp[i+1][j])  # 当作右括号，插入左括号
                dp[i][j] = min(dp[i][j], y + dp[i+1][j])  # 当作左括号，插入右括号
                # 尝试匹配
                for k in range(i + 1, j + 1):
                    if s[k] == ')' or s[k] == 'a':  # 'a'可以当作右括号
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][k-1] + dp[k+1][j])
            
            # 情况4：分割区间
            for k in range(i, j):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j])
    
    return dp[0][n-1]

步骤6：复杂度分析

• 时间复杂度：O(n³)，需要三重循环
• 空间复杂度：O(n²)，用于存储dp表

步骤7：优化考虑
可以通过预处理来优化匹配查找，将时间复杂度优化到O(n²)，但基本的区间DP思路如上所述。