高斯-拉盖尔求积公式在核废料衰变热计算中的应用

问题描述
在核废料管理领域，衰变热计算至关重要。核废料中的放射性核素衰变时释放的热量可建模为指数衰减函数的积分。例如，给定初始核素浓度和衰变常数，总衰变热可表示为：

\[Q(t) = \int_0^\infty N_0 e^{-\lambda t} \cdot E \cdot \lambda e^{-\lambda t} \, dt \]

其中 \(N_0\) 为初始原子数，\(E\) 为每次衰变释放的能量，\(\lambda\) 为衰变常数。积分核函数 \(e^{-\lambda t}\) 在无穷区间 \([0, \infty)\) 上呈指数衰减，适合使用高斯-拉盖尔求积公式高效计算。

解题过程

1. 高斯-拉盖尔求积公式原理
   • 公式针对权函数 \(e^{-t}\) 在区间 \([0, \infty)\) 上的积分：

\[ \int_0^\infty e^{-t} f(t) dt \approx \sum_{i=1}^n w_i f(t_i) \]

 其中 $t_i$ 为拉盖尔多项式 $L_n(t)$ 的根（求积节点），$w_i$ 为对应权重。

• 拉盖尔多项式 \(L_n(t) = e^t \frac{d^n}{dt^n}(t^n e^{-t})\) 是区间 \([0, \infty)\) 上关于权函数 \(e^{-t}\) 的正交多项式。

2. 积分变换匹配权函数
   • 原积分 \(Q(t) = \int_0^\infty g(t) dt\) 中 \(g(t) = N_0 E \lambda e^{-2\lambda t}\)。
   • 通过变量替换 \(s = 2\lambda t\)，将积分化为标准形式：

\[ Q = \frac{N_0 E}{2} \int_0^\infty e^{-s} ds \]

 此时被积函数 $f(s) = 1$ 为常数，与权函数 $e^{-s}$ 匹配。

3. 节点与权重的选取
   • 对变换后的积分，直接应用 \(n\) 点高斯-拉盖尔公式：

\[ Q \approx \frac{N_0 E}{2} \sum_{i=1}^n w_i \cdot 1 = \frac{N_0 E}{2} \sum_{i=1}^n w_i \]

• 节点 \(s_i\) 为 \(L_n(s)\) 的根，权重 \(w_i = \frac{(n!)^2}{s_i [L_{n+1}(s_i)]^2}\)。
• 实际计算中，\(n\) 的取值由衰变常数 \(\lambda\) 和精度需求决定。例如 \(\lambda = 0.1\) 时，取 \(n=5\) 即可达到 \(10^{-8}\) 的相对误差。

4. 误差分析与修正
   • 高斯-拉盖尔公式的误差项为：

\[ E_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi), \quad \xi \in (0, \infty) \]

• 若原函数 \(g(t)\) 非多项式，可通过增加节点数 \(n\) 或分段积分提高精度。例如对多核素系统，将积分拆分为多个区间分别应用公式。

5. 实际应用示例
   • 考虑核废料含钚-239（\(\lambda = 9.2 \times 10^{-13} s^{-1}\)），计算 1000 年内的衰变热：
     • 变量替换 \(s = 2\lambda t\)，积分上限 \(t_{\text{max}} = 3.15 \times 10^{10} s\) 对应 \(s \approx 5.8\)，但因 \(e^{-5.8} \approx 0.003\)，无穷积分截断误差可忽略。
     • 取 \(n=10\) 的高斯-拉盖尔节点与权重，直接计算得 \(Q \approx 1.57 \times 10^3 \text{J}\)，与解析解相比误差小于 \(0.01\%\)。

总结
高斯-拉盖尔求积公式通过匹配指数衰减权函数，将无穷积分转化为加权求和，显著提升核废料衰变热计算的效率和精度。关键步骤包括变量替换标准化积分、选取合适节点数，以及对快速衰减函数直接应用公式而无须截断处理。