椭圆曲线数字签名算法（EdDSA）中的Ed25519实现细节

我将为您详细讲解EdDSA算法在Ed25519实现中的关键技术细节。

算法概述
EdDSA（Edwards-curve Digital Signature Algorithm）是一种基于扭曲爱德华兹曲线的数字签名方案，Ed25519是其最著名的实现，使用Curve25519椭圆曲线。相比传统ECDSA，EdDSA具有更高的安全性和性能。

核心组件详解

1. 曲线参数与数学基础
Ed25519使用扭曲爱德华兹曲线：-x² + y² = 1 + dx²y²，其中d = -121665/121666

• 基点B：曲线上的一个固定点，作为生成元
• 素数域：p = 2²⁵⁵ - 19，所有运算在该素数域进行
• 私钥：32字节随机数，公钥通过私钥计算得出

2. 密钥生成过程
设私钥为k（32字节随机数）

1. 计算哈希：h = SHA512(k)
2. 清理哈希：将h的最低3位清零，最高2位清零，第6位置零
3. 构造私钥：a = h的前32字节（小端序）
4. 计算公钥：A = aB（椭圆曲线点乘）

3. 签名生成过程
设消息为M，私钥为k

1. 计算域哈希：r = SHA512(dom2(F, C) || h的后32字节 || M)
   - dom2是域分离标签，防止签名在不同上下文中重用
2. 规约r：r = r mod L（L是曲线阶）
3. 计算承诺：R = rB
4. 计算挑战：s = SHA512(dom2(F, C) || R || A || M)
5. 规约s：s = s mod L
6. 计算签名：S = (r + s × a) mod L
7. 最终签名：signature = (R, S)

4. 签名验证过程
设签名(R, S)，公钥A，消息M

1. 检查范围：验证S在[0, L-1]范围内
2. 计算挑战：s = SHA512(dom2(F, C) || R || A || M)
3. 规约s：s = s mod L
4. 验证等式：SB = R + sA
   在椭圆曲线上验证：S × B =? R + s × A
5. 如果等式成立，签名有效；否则无效

5. 关键优化技术

a. 固定基点标量乘
公钥计算aB使用固定基点的预计算表：

• 预先计算B, 2B, 4B, ..., 2²⁵⁵B
• 将标量a分解为多个小窗口
• 通过查表组合结果，大幅提升性能

b. 扭曲爱德华兹曲线公式
使用完备的加法公式，无异常点攻击风险：

x₃ = (x₁y₂ + y₁x₂) / (1 + dx₁x₂y₁y₂)
y₃ = (y₁y₂ + x₁x₂) / (1 - dx₁x₂y₁y₂)

c. 标量规约技术
使用素数域p = 2²⁵⁵ - 19的快速规约：

x mod p = (x mod 2²⁵⁵) + 19 × ⌊x/2²⁵⁵⌋

6. 安全性特性

确定性签名：相同消息和私钥总是产生相同签名，避免随机数生成器故障
侧信道防护：算法设计抵抗时序攻击和故障攻击
完备性：加法公式无异常情况，防止无效曲线攻击

实例演示
假设：

• 私钥k：随机32字节
• 消息M："Hello, World!"

签名过程：

1. 计算h = SHA512(k)，提取a
2. 计算公钥A = aB
3. 计算r = SHA512(dom2 || h[32:] || M) mod L
4. 计算R = rB
5. 计算s = SHA512(dom2 || R || A || M) mod L
6. 计算S = (r + s × a) mod L
7. 输出签名(R, S)

验证过程：

1. 解析签名得到R和S
2. 验证S ∈ [0, L-1]
3. 计算s = SHA512(dom2 || R || A || M) mod L
4. 验证S × B = R + s × A
5. 如果等式成立，签名有效

这种设计使Ed25519成为当前最安全、最高效的数字签名方案之一，广泛应用于现代密码系统中。