高斯-勒让德求积公式在带边界层函数积分中的正则化变换技巧

题目描述
考虑计算积分：

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx, \]

其中被积函数 \(f(x)\) 在边界附近（如 \(x = \pm 1\)）存在急剧变化的边界层特性，导致高斯-勒让德求积公式在固定节点数下精度不足。需通过正则化变换处理边界层，提升求积精度。

解题过程

1. 问题分析

   • 边界层函数在积分区间端点附近变化剧烈，例如 \(f(x) = e^{-100(1-x^2)}\) 在 \(x = \pm 1\) 处陡峭。
   • 高斯-勒让德求积公式的节点在区间内部分布密集，但端点附近节点稀疏，难以捕捉边界层行为。
   • 直接应用求积公式会导致较大误差，需通过变量变换将边界层“拉伸”到更易积分的形态。

2. 正则化变换设计

   • 引入变换 \(x = g(t)\)，将原积分转换为：

\[ I = \int_{-1}^{1} f(g(t)) \cdot g'(t) \, dt. \]

• 选择 \(g(t)\) 使得新被积函数 \(F(t) = f(g(t)) g'(t)\) 在区间内更平滑。
• 常用变换包括代数变换（如 \(x = t / \sqrt{1 - t^2}\) 的反函数）或指数变换（如 \(x = \tanh(kt)\)），其中 \(k\) 为调节边界层厚度的参数。

3. 变换参数优化
   • 以 \(x = \tanh(kt)\) 为例，变换后积分为：

\[ I = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tanh(kt)) \cdot \frac{k}{\cosh^2(kt)} \, dt. \]

• 需截断为有限区间 \([-L, L]\)，满足 \(\tanh(kL) \approx 1\)。
• 参数 \(k\) 需根据边界层厚度选择：若边界层宽度为 \(\delta\)，取 \(k \sim 1/\delta\) 以平衡变换效果与截断误差。

4. 高斯-勒让德求积应用
   • 将截断后的积分区间 \([-L, L]\) 线性映射到 \([-1, 1]\)：

\[ t = L \cdot \tau, \quad dt = L \, d\tau, \]

 积分变为：

\[ I = L \int_{-1}^{1} f(\tanh(kL\tau)) \cdot \frac{k}{\cosh^2(kL\tau)} \, d\tau. \]

• 对变换后的积分直接应用 \(n\) 点高斯-勒让德求积公式：

\[ I \approx L \sum_{i=1}^{n} w_i \cdot f(\tanh(kL\tau_i)) \cdot \frac{k}{\cosh^2(kL\tau_i)}, \]

 其中 $ \tau_i $ 和 $ w_i $ 为高斯-勒让德节点与权重。

5. 误差与收敛性分析

   • 误差来源包括：
     • 高斯求积的截断误差，与 \(F(\tau)\) 的光滑性相关。
     • 区间截断误差，随 \(L\) 增大而指数衰减。
   • 通过调整 \(k\) 和 \(L\)，使 \(F(\tau)\) 的高阶导数最小化，可加速收敛。

6. 实例验证

   • 以 \(f(x) = e^{-100(1-x^2)}\) 为例，选择 \(k=10, L=2\)：
     • 变换后函数在 \(\tau \in [-1,1]\) 上平滑，无需密集节点即可捕捉边界层。
     • 对比直接求积与变换后求积：使用 10 点公式时，直接求积误差达 \(O(10^{-1})\)，而变换后误差降至 \(O(10^{-6})\).

总结
通过正则化变换将边界层函数的积分转化为平滑函数的积分，充分发挥高斯-勒让德公式在高阶多项式近似上的优势，显著提升计算效率与精度。