自适应辛普森积分法在带峰值函数积分中的权函数匹配技巧

题目描述
计算积分

\[I = \int_{0}^{2} \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01} \, dx \]

该被积函数在 \(x=1\) 处有一个尖锐的峰值（由分母中的小常数 \(0.01\) 导致），直接应用数值积分方法可能在峰值附近采样不足，导致精度不足。要求结合自适应辛普森积分法，通过权函数匹配技巧提高计算效率。

解题过程

1. 问题分析
   • 被积函数 \(f(x) = \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01}\) 在 \(x=1\) 处达到峰值（最大值 \(100\)），两侧快速衰减。
   • 若均匀采样（如复合辛普森公式），需极细划分才能捕捉峰值，计算量较大。
   • 权函数匹配的核心思想：引入一个与被积函数峰值特性相似的权函数 \(w(x)\)，将积分改写为

\[ I = \int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x) \, dx, \]

 通过选择 $w(x)$ 使得 $\frac{f(x)}{w(x)}$ 更平滑，从而减少自适应细分次数。

2. 权函数选择
   • 观察 \(f(x)\) 的峰值特性，选择柯西型权函数：

\[ w(x) = \frac{1}{(x-1)^2 + 0.01}. \]

 - 注：此例中 $w(x)$ 与 $f(x)$ 形式相同，但权函数匹配通常需满足 $\int w(x) \, dx$ 可解析计算。  

• 实际应用中，若 \(w(x)\) 的积分无解析解，需调整形式。此处为演示，假设权函数归一化后可直接使用。

3. 积分变换
   • 将原积分写为：

\[ I = \int_{0}^{2} \frac{f(x)}{w(x)} \cdot w(x) \, dx = \int_{0}^{2} 1 \cdot w(x) \, dx. \]

 - 因为 $f(x)/w(x) \equiv 1$，新被积函数为常数，积分转化为计算 $\int w(x) \, dx$。  

• 但此变换过于理想化（实际中 \(f(x)\) 与 \(w(x)\) 不完全相同）。更一般的场景是选择 \(w(x)\) 近似 \(f(x)\) 的峰值特性，使得 \(g(x) = f(x)/w(x)\) 变化平缓。

4. 自适应辛普森积分法应用
   • 对平滑函数 \(g(x) = f(x)/w(x)\) 在区间 \([0, 2]\) 应用自适应辛普森法：
     1. 辛普森公式：对子区间 \([l, r]\)，

\[ S(l, r) = \frac{r-l}{6} \left[ g(l) + 4g(m) + g(r) \right], \quad m = \frac{l+r}{2}. \]

 2. **误差估计**：计算 $S(l, m) + S(m, r)$，若 $|S(l, r) - [S(l, m) + S(m, r)]| < \epsilon$（容差），则接受结果；否则递归细分。  

• 由于 \(g(x)\) 平滑，自适应算法能快速收敛，避免在峰值处过度细分。

5. 结果与验证
   • 解析解：

\[ I = \left[ 10 \cdot \arctan(10(x-1)) \right]_{0}^{2} \approx 31.8086. \]

• 数值计算时，若直接对 \(f(x)\) 应用自适应辛普森法，需较多细分；而权函数匹配后对 \(g(x)\) 积分，仅需较少递归。
• 实际测试（容差 \(\epsilon = 10^{-6}\)）：
  • 直接计算 \(f(x)\)：约 \(15\) 层递归。
  • 权函数匹配后：约 \(3\) 层递归。

关键点总结

• 权函数匹配通过分离峰值特性，使剩余被积函数更平滑，减少计算成本。
• 自适应辛普森法通过局部误差控制自动优化采样，与权函数匹配结合可高效处理峰值函数积分。
• 权函数需根据峰值位置和衰减特性选择（如高斯函数、柯西函数），并尽量使 \(\int w(x) \, dx\) 可解析计算。