基于线性规划的图最大流问题的连续最短路径增广算法求解示例 我将为您讲解如何利用连续最短路径增广算法求解图的最大流问题。这个算法是Ford-Fulkerson方法的一种高效实现，通过始终选择最短的增广路径来保证多项式时间复杂度。 问题描述 考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集合，E是边集合。每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)≥0。指定两个特殊顶点：源点s和汇点t。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足： 容量约束：每条边上的流量不超过其容量 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量 解题过程 步骤1：初始化残量网络 首先构建残量网络G_ f，初始时残量网络与原图相同： 对于每条边(u,v)∈E，设置残量容量r(u,v)=c(u,v) 初始流值f=0 例如，考虑一个简单网络： 顶点：s, a, b, t 边：(s,a):3, (s,b):2, (a,b):1, (a,t):2, (b,t):3 步骤2：层次图构建 在每次迭代中，构建层次图（Level Graph）： 从源点s开始进行BFS，给每个顶点分配层次（距离） 层次L(v)表示从s到v的最短距离（按边数） 只包含从低层次指向高层次且残量>0的边 构建过程： L(s)=0 访问s的邻居：L(a)=1, L(b)=1 访问a,b的邻居：L(t)=2 层次图包含边：(s,a), (s,b), (a,t), (b,t) 步骤3：在层次图中寻找阻塞流 阻塞流是指在层次图中无法再找到从s到t的路径时的流。使用DFS在层次图中寻找增广路径： 寻找路径s→a→t： 路径最小残量 = min{r(s,a)=3, r(a,t)=2} = 2 沿路径推送流量2 更新残量：r(s,a)=1, r(a,t)=0 增加反向边残量：r(a,s)=2, r(t,a)=2 步骤4：更新流值和残量网络 当前总流量f=0+2=2 检查层次图中是否还有s到t的路径：s→b→t 路径最小残量 = min{r(s,b)=2, r(b,t)=3} = 2 沿路径推送流量2 更新残量：r(s,b)=0, r(b,t)=1 增加反向边残量：r(b,s)=2, r(t,b)=2 步骤5：重新构建层次图 当前总流量f=4 重新从s开始BFS： L(s)=0 s的邻居：只有a可达（r(s,a)=1>0），L(a)=1 a的邻居：b（r(a,b)=1>0），L(b)=2 b的邻居：t（r(b,t)=1>0），L(t)=3 新层次图包含边：(s,a), (a,b), (b,t) 步骤6：在新层次图中寻找阻塞流 路径s→a→b→t： 路径最小残量 = min{1,1,1} = 1 推送流量1 更新残量：r(s,a)=0, r(a,b)=0, r(b,t)=0 增加反向边残量 步骤7：终止条件 当前总流量f=5 重新构建层次图：无法从s到达t，算法终止 算法分析 时间复杂度：O(V²E)，相比基本Ford-Fulkerson方法的O(fE)有保证 每次迭代至少增加层次图的一个层次 最多V-1次迭代即可找到最大流 最终结果 该网络的最大流为5，达到了理论上的最大流量值，满足所有容量约束和流量守恒条件。