基于线性规划的图最大流问题的连续最短路径增广算法求解示例

我将为您讲解基于线性规划的图最大流问题的连续最短路径增广算法（Successive Shortest Path Algorithm）。

问题描述
考虑一个有向图G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。每条边(u,v)∈E有一个非负容量u(u,v)≥0。设s为源点，t为汇点。最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足：

• 容量约束：每条边的流量不超过其容量
• 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入等于流出

线性规划建模
最大流问题可以表述为线性规划：

maximize ∑ f(s,v)  (v∈V, (s,v)∈E)
subject to:
∑ f(u,v) - ∑ f(v,w) = 0, ∀v∈V\{s,t}
0 ≤ f(u,v) ≤ u(u,v), ∀(u,v)∈E

连续最短路径增广算法步骤

步骤1：初始化

• 设初始流f(u,v)=0，∀(u,v)∈E
• 构建残量网络G_f = (V, E_f)，其中：
  • 对于每条边(u,v)∈E，如果f(u,v) < u(u,v)，则在E_f中加入前向边(u,v)，残量容量为r(u,v) = u(u,v) - f(u,v)
  • 对于每条边(u,v)∈E，如果f(u,v) > 0，则在E_f中加入反向边(v,u)，残量容量为r(v,u) = f(u,v)

步骤2：寻找增广路径

• 在残量网络G_f中，使用最短路径算法（如BFS）找到从s到t的一条路径P
• 路径P的容量c(P) = min{r(u,v) | (u,v)∈P}

步骤3：流量更新

• 对于路径P中的每条边(u,v)：
  • 如果是前向边：f(u,v) = f(u,v) + c(P)
  • 如果是反向边：f(v,u) = f(v,u) - c(P) （等价于减少原图中的正向流量）

步骤4：残量网络更新

• 更新残量网络G_f：
  • 对于路径P中的每条前向边(u,v)，减少其残量容量：r(u,v) = r(u,v) - c(P)
  • 如果r(u,v)=0，从G_f中移除边(u,v)
  • 对于路径P中的每条反向边(v,u)，增加对应的前向边的残量容量

步骤5：终止条件检查

• 如果在残量网络G_f中不存在从s到t的路径，算法终止
• 否则，返回步骤2继续寻找下一条增广路径

算法特性分析

1. 每次迭代至少增加1个单位的流量
2. 算法保证在有限步内终止（最多U次迭代，其中U是最大容量）
3. 时间复杂度为O(|V|·|E|·U)，其中U是最大边容量
4. 当使用BFS寻找最短路径时，保证找到边数最少的增广路径

最优性验证
当算法终止时，根据最大流最小割定理：

• 当前流f的值等于最小割的容量
• 在残量网络G_f中，从s可达的顶点集合S构成一个最小割
• 满足线性规划的对偶可行性条件

该算法通过连续寻找并增广最短路径，逐步逼近最大流，最终达到最优解。