基于线性规划的图最大流问题的容量缩放Push-Relabel算法求解示例

我将为您讲解基于线性规划的图最大流问题的容量缩放Push-Relabel算法。这个算法结合了容量缩放技术和Push-Relabel方法的优势，能够高效求解最大流问题。

问题描述

考虑一个有向图G=(V,E)，其中：

• V是顶点集合，|V|=n
• E是边集合，|E|=m
• 每条边(u,v)∈E有一个非负容量c(u,v)
• 指定源点s和汇点t

最大流问题的目标是找到从s到t的最大流量，满足：

1. 容量约束：每条边的流量不超过其容量
2. 流量守恒：除s和t外，每个顶点的流入量等于流出量

线性规划形式ulation

最大流问题可以表述为线性规划：

最大化：∑{(s,v)∈E} f(s,v) - ∑{(v,s)∈E} f(v,s)

约束条件：

1. 对于所有(u,v)∈E：0 ≤ f(u,v) ≤ c(u,v)
2. 对于所有v∈V-{s,t}：∑{(u,v)∈E} f(u,v) = ∑{(v,w)∈E} f(v,w)

容量缩放Push-Relabel算法详解

步骤1：算法核心概念

1. 预流(Preflow)：放宽流量守恒约束，允许顶点有超额流(excess flow)
2. 高度函数(Height Function)：为每个顶点分配高度，确保流只能从高顶点流向低顶点
3. 容量缩放(Capacity Scaling)：通过逐渐减小缩放参数Δ来处理不同规模的边

步骤2：算法初始化

设初始缩放参数Δ = 2^{⌊log₂U⌋}，其中U是最大边容量

初始化变量：

• 对于所有v∈V：高度h(v)=0，超额流e(v)=0
• 对于所有(u,v)∈E：流f(u,v)=0
• h(s)=n（源点高度设为n）
• 对于所有(s,v)∈E：f(s,v)=c(s,v)，e(v)=c(s,v)

步骤3：主循环 - 容量缩放阶段

对于每个缩放参数Δ = 2^k, 2^{k-1}, ..., 1：

1. 饱和推送(Saturating Push)：

   • 对于每条边(u,v)，如果满足：
     • 剩余容量r(u,v) = c(u,v) - f(u,v) ≥ Δ
     • h(u) = h(v) + 1
     • e(u) > 0
   • 则推送δ = min(e(u), r(u,v))单位的流
   • 更新：f(u,v) += δ, f(v,u) -= δ, e(u) -= δ, e(v) += δ

2. 非饱和推送(Unsaturating Push)：

   • 对于超额流顶点u（e(u)>0），如果存在边(u,v)满足：
     • r(u,v) > 0
     • h(u) = h(v) + 1
   • 则推送δ = min(e(u), r(u,v))单位的流

3. 重标记(Relabel)：

   • 如果顶点u有超额流(e(u)>0)，但无法进行推送操作
   • 则提升高度：h(u) = 1 + min{h(v) : (u,v)∈E且r(u,v)>0}

步骤4：算法终止

当Δ=0且没有超额流顶点时（除s和t外），算法终止。

步骤5：具体实例演示

考虑以下网络：

顶点：s, a, b, c, d, t
边容量：
s→a: 12, s→b: 14
a→c: 8, a→d: 6  
b→c: 7, b→d: 10
c→t: 10, d→t: 10

执行过程：

1. 初始化：

   • U = 14, Δ = 8 (2^3)
   • h(s)=6, 其他顶点高度为0
   • 推送：s→a推送8单位，s→b推送8单位

2. Δ=8阶段：

   • 饱和推送：a→c推送8单位，b→d推送8单位
   • 重标记：顶点a,b高度提升

3. Δ=4阶段：

   • 继续推送操作，调整流量分布

4. Δ=2, Δ=1阶段：

   • 精细调整，最终得到最大流

步骤6：算法分析

• 时间复杂度：O(n²√m)
• 空间复杂度：O(n+m)
• 优势：避免单纯形法可能出现的退化问题，实际性能优秀

步骤7：最优性验证

通过最大流最小割定理验证结果：

• 找到最小割(S,T)，其中S={s,a,b}, T={c,d,t}
• 割容量 = c(a,c)+c(b,c)+c(b,d) = 8+7+10 = 25
• 算法找到的最大流值也为25，验证了最优性

这个算法通过容量缩放技术有效管理不同规模的边，结合Push-Relabel方法的高效性，为最大流问题提供了一个实用且高效的解决方案。